Номер 94, страница 413 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

94. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{1}{x^9} - \frac{3}{x^3}$;

2) $y = (x + 1)^3(x - 2)^4$.

1)

Дана функция $y = \frac{1}{x^9} - \frac{3}{x^3}$.

Для нахождения производной, сначала перепишем функцию, используя степени с отрицательными показателями, что упростит применение правила дифференцирования.

$y = x^{-9} - 3x^{-3}$

Теперь применим правило дифференцирования для разности функций $(u-v)' = u' - v'$ и правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (x^{-9} - 3x^{-3})' = (x^{-9})' - (3x^{-3})'$

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

$(x^{-9})' = -9 \cdot x^{-9-1} = -9x^{-10}$

$(3x^{-3})' = 3 \cdot (x^{-3})' = 3 \cdot (-3) \cdot x^{-3-1} = -9x^{-4}$

Подставим найденные производные обратно в выражение для $y'$:

$y' = -9x^{-10} - (-9x^{-4}) = -9x^{-10} + 9x^{-4}$

Для финального ответа вернемся к представлению с дробями (положительными степенями в знаменателе):

$y' = -\frac{9}{x^{10}} + \frac{9}{x^4}$

Для удобства можно поменять слагаемые местами:

$y' = \frac{9}{x^4} - \frac{9}{x^{10}}$

Ответ: $y' = \frac{9}{x^4} - \frac{9}{x^{10}}$

2)

Дана функция $y = (x + 1)^3(x - 2)^4$.

Эта функция является произведением двух функций: $u(x) = (x+1)^3$ и $v(x) = (x-2)^4$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и правило степенной функции.

Производная для $u(x) = (x+1)^3$:

$u' = ((x+1)^3)' = 3(x+1)^{3-1} \cdot (x+1)' = 3(x+1)^2 \cdot 1 = 3(x+1)^2$

Производная для $v(x) = (x-2)^4$:

$v' = ((x-2)^4)' = 4(x-2)^{4-1} \cdot (x-2)' = 4(x-2)^3 \cdot 1 = 4(x-2)^3$

Теперь подставим $u, v, u', v'$ в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 3(x+1)^2(x-2)^4 + (x+1)^3 \cdot 4(x-2)^3$

Чтобы упростить выражение, вынесем за скобки общий множитель $(x+1)^2(x-2)^3$:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3 [3(x-2) + 4(x+1)]

Далее упростим выражение в квадратных скобках:

$3(x-2) + 4(x+1) = 3x - 6 + 4x + 4 = 7x - 2$

В итоге получаем окончательный вид производной:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3(7x - 2)$

Ответ: $y' = (x+1)^2(x-2)^3(7x-2)$