Номер 55, страница 409 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

55. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = \frac{2}{3} \operatorname{tg} 80^{\circ}$;

2) $\cos \alpha = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{18}$;

3) $\cos \alpha = \operatorname{tg} \frac{\pi}{9}$?

1) $sin \alpha = \frac{2}{3} \text{tg} 80^\circ$

Для того чтобы данное равенство было возможно, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции синус, то есть отрезку $[-1, 1]$. Это означает, что должно выполняться условие $|\frac{2}{3} \text{tg} 80^\circ| \le 1$.

Оценим значение выражения $\frac{2}{3} \text{tg} 80^\circ$. Угол $80^\circ$ находится в первой координатной четверти, поэтому $\text{tg} 80^\circ > 0$.

Функция тангенса возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Сравним $\text{tg} 80^\circ$ со значением тангенса известного угла, например, $60^\circ$. Мы знаем, что $\text{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.

Поскольку $80^\circ > 60^\circ$, то $\text{tg} 80^\circ > \text{tg} 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$.

Теперь оценим всю правую часть равенства: $\frac{2}{3} \text{tg} 80^\circ > \frac{2}{3} \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Поскольку $\sqrt{3} > 1.5$, то $\frac{2}{3} \sqrt{3} > \frac{2}{3} \cdot 1.5 = 1$.

Таким образом, $\frac{2}{3} \text{tg} 80^\circ > 1$. Значение синуса не может быть больше 1, следовательно, такое равенство невозможно.

Ответ: невозможно.

2) $\cos \alpha = \text{ctg} \frac{\pi}{18}$

Для того чтобы данное равенство было возможно, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1, 1]$. Это означает, что должно выполняться условие $|\text{ctg} \frac{\pi}{18}| \le 1$.

Оценим значение выражения $\text{ctg} \frac{\pi}{18}$. Сначала переведем радианы в градусы: $\frac{\pi}{18} = \frac{180^\circ}{18} = 10^\circ$.

Угол $10^\circ$ находится в первой координатной четверти, поэтому $\text{ctg} 10^\circ > 0$.

Функция котангенса убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Сравним $\text{ctg} 10^\circ$ со значением котангенса известного угла, например, $30^\circ$. Мы знаем, что $\text{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$.

Поскольку $10^\circ < 30^\circ$, то $\text{ctg} 10^\circ > \text{ctg} 30^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$.

Таким образом, $\text{ctg} \frac{\pi}{18} > 1$. Значение косинуса не может быть больше 1, следовательно, такое равенство невозможно.

Ответ: невозможно.

3) $\cos \alpha = \text{tg} \frac{\pi}{9}$

Для того чтобы данное равенство было возможно, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1, 1]$. Это означает, что должно выполняться условие $|\text{tg} \frac{\pi}{9}| \le 1$.

Оценим значение выражения $\text{tg} \frac{\pi}{9}$. Сначала переведем радианы в градусы: $\frac{\pi}{9} = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$.

Угол $20^\circ$ находится в первой координатной четверти, поэтому $\text{tg} 20^\circ > 0$.

Функция тангенса возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Мы знаем, что $\text{tg} 0^\circ = 0$ и $\text{tg} 45^\circ = 1$.

Поскольку $0^\circ < 20^\circ < 45^\circ$, то $\text{tg} 0^\circ < \text{tg} 20^\circ < \text{tg} 45^\circ$, что означает $0 < \text{tg} 20^\circ < 1$.

Так как значение $\text{tg} \frac{\pi}{9}$ находится в интервале $(0, 1)$, оно принадлежит области значений функции косинус $[-1, 1]$. Следовательно, существует такой угол $\alpha$, для которого данное равенство выполняется.

Ответ: возможно.