Номер 53, страница 409 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

53. Расположите числа в порядке возрастания:

1) $ \sin 3,2 $, $ \sin 4 $, $ \sin 3,6 $, $ \sin 2,4 $, $ \sin 1,8 $;

2) $ \cos 3,5 $, $ \cos 4,8 $, $ \cos 6,1 $, $ \cos 5,6 $, $ \cos 4,2 $.

1) Чтобы расположить числа $\sin 3,2$, $\sin 4$, $\sin 3,6$, $\sin 2,4$, $\sin 1,8$ в порядке возрастания, проанализируем поведение функции $y=\sin(x)$ на единичной окружности. Аргументы синуса даны в радианах. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$; $\pi/2 \approx 1,57$; $3\pi/2 \approx 4,71$.
Определим, в каких четвертях находятся углы:
- Углы $1,8$ и $2,4$ находятся во второй четверти, так как $\pi/2 < 1,8 < \pi$ и $\pi/2 < 2,4 < \pi$. В этой четверти функция синус положительна и убывает. Поскольку $1,8 < 2,4$, то $\sin 1,8 > \sin 2,4 > 0$.
- Углы $3,2$, $3,6$ и $4$ находятся в третьей четверти, так как $\pi < 3,2 < 3\pi/2$, $\pi < 3,6 < 3\pi/2$ и $\pi < 4 < 3\pi/2$. В этой четверти функция синус отрицательна и убывает. Поскольку $3,2 < 3,6 < 4$, то $0 > \sin 3,2 > \sin 3,6 > \sin 4$.
Таким образом, у нас есть две группы чисел: положительные ($\sin 1,8$, $\sin 2,4$) и отрицательные ($\sin 3,2$, $\sin 3,6$, $\sin 4$).
Сопоставляя все значения, получаем общую последовательность в порядке возрастания: самое большое по модулю отрицательное число, затем менее отрицательные, затем меньшее положительное и, наконец, большее положительное.
Получаем порядок: $\sin 4, \sin 3,6, \sin 3,2, \sin 2,4, \sin 1,8$.
Ответ: $\sin 4, \sin 3,6, \sin 3,2, \sin 2,4, \sin 1,8$.

2) Чтобы расположить числа $\cos 3,5$, $\cos 4,8$, $\cos 6,1$, $\cos 5,6$, $\cos 4,2$ в порядке возрастания, проанализируем поведение функции $y=\cos(x)$ на единичной окружности. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$; $3\pi/2 \approx 4,71$; $2\pi \approx 6,28$.
Определим, в каких четвертях находятся углы:
- Углы $3,5$ и $4,2$ находятся в третьей четверти, так как $\pi < 3,5 < 3\pi/2$ и $\pi < 4,2 < 3\pi/2$. В этой четверти функция косинус отрицательна и возрастает. Поскольку $3,5 < 4,2$, то $\cos 3,5 < \cos 4,2 < 0$.
- Углы $4,8$, $5,6$ и $6,1$ находятся в четвертой четверти, так как $3\pi/2 < 4,8 < 2\pi$, $3\pi/2 < 5,6 < 2\pi$ и $3\pi/2 < 6,1 < 2\pi$. В этой четверти функция косинус положительна и возрастает. Поскольку $4,8 < 5,6 < 6,1$, то $0 < \cos 4,8 < \cos 5,6 < \cos 6,1$.
Соединяя отрицательные и положительные значения, получаем итоговую последовательность в порядке возрастания. Сначала идут отрицательные числа в порядке их возрастания, затем положительные.
Получаем порядок: $\cos 3,5, \cos 4,2, \cos 4,8, \cos 5,6, \cos 6,1$.
Ответ: $\cos 3,5, \cos 4,2, \cos 4,8, \cos 5,6, \cos 6,1$.