Номер 56, страница 409 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

56. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1} + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha$;

2) $(\operatorname{tg} \alpha \cos \alpha)^2 + (\operatorname{ctg} \alpha \sin \alpha)^2$;

3) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha$;

4) $(\operatorname{tg} \beta + \operatorname{ctg} \beta)^2 - (\operatorname{tg} \beta - \operatorname{ctg} \beta)^2$.

1) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1} + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha$

Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Из него следуют два равенства: $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$ и $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.

Также известно, что произведение тангенса и котангенса одного угла равно единице: $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$.

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$\frac{-\cos^2 \alpha}{-\sin^2 \alpha} + 1 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1$

По определению, $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha$, следовательно, $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{ctg}^2 \alpha$.

Выражение принимает вид: $\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1$.

Используя еще одно тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, получаем окончательный результат.

Ответ: $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$

2) $(\operatorname{tg} \alpha \cos \alpha)^2 + (\operatorname{ctg} \alpha \sin \alpha)^2$

Используем определения тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и котангенса $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Подставим их в соответствующие скобки:

$(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha)^2 + (\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha)^2$

Сократим дроби в скобках:

$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Ответ: $1$

3) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha$

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $\cos^2 \alpha$:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$

Выражение в скобках, согласно основному тригонометрическому тождеству, равно 1: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Подставим это значение в выражение:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$

Вновь применяем основное тригонометрическое тождество и получаем 1.

Ответ: $1$

4) $(\operatorname{tg} \beta + \operatorname{ctg} \beta)^2 - (\operatorname{tg} \beta - \operatorname{ctg} \beta)^2$

Это выражение соответствует формуле разности квадратов вида $(a+b)^2 - (a-b)^2$, которая равна $4ab$.

В данном случае $a = \operatorname{tg} \beta$ и $b = \operatorname{ctg} \beta$.

Применяя формулу, получаем:

$4 \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{ctg} \beta$

Так как произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1 ($\operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{ctg} \beta = 1$), то выражение упрощается до:

$4 \cdot 1 = 4$

Ответ: $4$