Страница 402 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие выводы называют индуктивными?

2. Опишите схему доказательства методом математической индукции.

3. Из каких двух теорем состоит доказательство методом математической индукции?

1. Какие выводы называют индуктивными?
Индуктивными выводами (или индуктивными умозаключениями) называют общие выводы, сделанные на основе рассмотрения ряда частных, конкретных случаев. Это метод рассуждения, при котором происходит переход от частного знания к общему. Например, наблюдая, что числа 3, 5, 7, 11, 13 — простые, можно сделать индуктивный вывод, что все нечетные числа больше 2 являются простыми. Этот пример показывает главную особенность индукции: в отличие от дедуктивного вывода, индуктивный вывод не всегда является достоверным и может оказаться ложным (в данном примере число 9 — нечетное, но не простое). Таким образом, индукция позволяет выдвигать гипотезы на основе наблюдений.
Ответ: Индуктивные выводы — это обобщения, сделанные на основе наблюдений за частными случаями, то есть умозаключения от частного к общему.

2. Опишите схему доказательства методом математической индукции.
Метод математической индукции применяется для доказательства истинности некоторого утверждения $P(n)$ для всех натуральных чисел $n$, начиная с некоторого числа $n_0$ (чаще всего $n_0=1$). Схема доказательства состоит из двух ключевых шагов:
1. База индукции (или базис индукции). На этом шаге доказывают, что утверждение $P(n)$ справедливо для самого первого (начального) значения $n=n_0$. То есть проверяют истинность $P(n_0)$.
2. Индукционный шаг (или шаг индукции). На этом шаге доказывают, что если утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge n_0$, то оно обязательно будет верно и для следующего за ним числа $k+1$. Для этого:
а) делают индукционное предположение: пусть утверждение $P(k)$ истинно для некоторого $k \ge n_0$.
б) доказывают индукционный переход: используя предположение об истинности $P(k)$, доказывают истинность $P(k+1)$.
Если оба шага (база и шаг) успешно выполнены, то по принципу математической индукции делается вывод, что утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.
Ответ: Схема доказательства методом математической индукции включает в себя два этапа: 1) доказательство истинности утверждения для начального значения (база индукции) и 2) доказательство того, что из истинности утверждения для произвольного значения $k$ следует его истинность для $k+1$ (индукционный шаг).

3. Из каких двух теорем состоит доказательство методом математической индукции?
Доказательство методом математической индукции по своей сути является доказательством двух фундаментальных утверждений, которые можно условно назвать двумя теоремами (или леммами):
1. Теорема о базе индукции. Это утверждение о том, что доказываемое свойство $P(n)$ выполняется для начального значения $n=n_0$. То есть доказывается, что утверждение $P(n_0)$ является истинным.
2. Теорема об индукционном переходе. Это утверждение о том, что свойство $P(n)$ "передается по цепочке" от любого натурального числа к следующему. Формально это импликация: для любого натурального числа $k \ge n_0$, если истинно $P(k)$, то истинно и $P(k+1)$. В виде формулы: $\forall k \ge n_0 (P(k) \Rightarrow P(k+1))$.
Совместное доказательство этих двух «теорем» в силу аксиомы (принципа) математической индукции гарантирует истинность утверждения $P(n)$ для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.
Ответ: Доказательство методом математической индукции состоит из доказательства двух утверждений: истинности утверждения для начального значения $n_0$ (база индукции) и истинности логического следования $\forall k \ge n_0 (P(k) \Rightarrow P(k+1))$ (индукционный шаг).

52.1. Числа 24, 44, 64, 84 кратны 4. Можно ли отсюда сделать вывод, что число, которое оканчивается цифрой 4, кратно 4?

Нет, такой вывод сделать нельзя. Тот факт, что несколько чисел, оканчивающихся на 4 (например, 24, 44, 64, 84), кратны 4, не означает, что все без исключения числа, оканчивающиеся на 4, будут кратны 4.

Чтобы доказать неверность этого вывода, достаточно найти хотя бы один контрпример — число, которое оканчивается на 4, но при этом не делится на 4 нацело.

Возьмем, к примеру, число 14. Оно оканчивается на цифру 4. Проверим его делимость на 4:
$14 \div 4 = 3,5$
Результат деления не является целым числом, значит, 14 не кратно 4.

Поскольку мы нашли контрпример, мы можем с уверенностью сказать, что вывод о том, что любое число, оканчивающееся на 4, кратно 4, является ложным.

Ответ: нет, такой вывод сделать нельзя.

52.2. Рассмотрите значения многочлена $f(n) = n^2 + n + 17$ при $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$, $n = 4$ и $n = 5$. Сделайте предположение. Установите, является ли высказанная гипотеза верной.

Рассмотрим значения многочлена $f(n) = n^2 + n + 17$ при $n=1, n=2, n=3, n=4$ и $n=5$.

Вычислим значения функции для каждого из заданных $n$:

• При $n=1$: $f(1) = 1^2 + 1 + 17 = 1 + 1 + 17 = 19$.
• При $n=2$: $f(2) = 2^2 + 2 + 17 = 4 + 2 + 17 = 23$.
• При $n=3$: $f(3) = 3^2 + 3 + 17 = 9 + 3 + 17 = 29$.
• При $n=4$: $f(4) = 4^2 + 4 + 17 = 16 + 4 + 17 = 37$.
• При $n=5$: $f(5) = 5^2 + 5 + 17 = 25 + 5 + 17 = 47$.

Полученные значения: 19, 23, 29, 37, 47. Все эти числа являются простыми.

Сделаем предположение.

На основе полученных результатов можно выдвинуть гипотезу (предположение), что при любом натуральном значении $n$ многочлен $f(n) = n^2 + n + 17$ принимает значение, которое является простым числом.

Установим, является ли высказанная гипотеза верной.

Для того чтобы опровергнуть гипотезу, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное число $n$, при котором значение $f(n)$ будет составным числом.

Рассмотрим выражение $f(n) = n^2 + n + 17 = n(n+1) + 17$.

Если одно из слагаемых $n(n+1)$ или $17$ будет иметь общий делитель с другим (кроме 1), то вся сумма может оказаться составным числом. Очевидно, что если $n$ или $n+1$ будет кратно 17, то и все выражение $n(n+1) + 17$ будет кратно 17.

Проверим значение $n$, при котором $n+1$ кратно 17, например, $n=16$:

$f(16) = 16^2 + 16 + 17 = 256 + 16 + 17 = 289$.

Число 289 не является простым, так как оно делится на 17: $289 = 17 \cdot 17 = 17^2$.

Также можно проверить значение $n=17$:

$f(17) = 17^2 + 17 + 17 = 17 \cdot (17 + 1 + 1) = 17 \cdot 19 = 323$.

Число 323 также является составным.

Поскольку мы нашли контрпример ($n=16$), при котором значение многочлена является составным числом, наша гипотеза неверна.

Ответ: При $n = 1, 2, 3, 4, 5$ значения многочлена равны 19, 23, 29, 37, 47 соответственно. Все эти числа простые. Гипотеза: многочлен $f(n) = n^2 + n + 17$ при любом натуральном $n$ дает простое число. Эта гипотеза неверна, так как при $n=16$ значение многочлена $f(16) = 289 = 17^2$ является составным числом.

52.3. Докажите, что при любом натуральном $n$ выполняется равенство:

1) $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$;

2) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2$;

3) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$;

4) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$.

Для доказательства данных равенств воспользуемся методом математической индукции.

1) Докажем, что $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ для любого натурального $n$.

База индукции. Проверим истинность утверждения для $n = 1$.
Левая часть: $1$.
Правая часть: $\frac{1(1 + 1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$.
$1 = 1$. Утверждение верно для $n = 1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n = k$, то есть:
$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k + 1)}{2}$.
Докажем, что утверждение верно и для $n = k + 1$, то есть:
$1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{(k + 1)((k + 1) + 1)}{2} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$.
Рассмотрим левую часть равенства для $n = k + 1$:
$1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1)$.
Используя предположение индукции, заменяем сумму первых $k$ слагаемых:
$\frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) = \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$.
Мы получили правую часть равенства для $n = k + 1$.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ доказано.

2) Докажем, что $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2$ для любого натурального $n$.

База индукции. Проверим истинность утверждения для $n = 1$.
Левая часть: $1^3 = 1$.
Правая часть: $\left(\frac{1(1 + 1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$.
$1 = 1$. Утверждение верно для $n = 1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n = k$, то есть:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \left(\frac{k(k + 1)}{2}\right)^2$.
Докажем, что утверждение верно и для $n = k + 1$, то есть:
$1^3 + 2^3 + ... + (k + 1)^3 = \left(\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\right)^2$.
Рассмотрим левую часть равенства для $n = k + 1$:
$1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k + 1)^3 = (1^3 + 2^3 + ... + k^3) + (k + 1)^3$.
Используя предположение индукции:
$\left(\frac{k(k + 1)}{2}\right)^2 + (k + 1)^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3$.
Вынесем общий множитель $(k + 1)^2$ за скобки:
$(k + 1)^2 \left(\frac{k^2}{4} + k + 1\right) = (k + 1)^2 \left(\frac{k^2 + 4k + 4}{4}\right) = (k + 1)^2 \frac{(k + 2)^2}{4} = \left(\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\right)^2$.
Мы получили правую часть равенства для $n = k + 1$.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2$ доказано.

3) Докажем, что $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ для любого натурального $n$.

База индукции. Проверим истинность утверждения для $n = 1$.
Левая часть: $1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1(1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$.
$1 = 1$. Утверждение верно для $n = 1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n = k$, то есть:
$1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$.
Докажем, что утверждение верно и для $n = k + 1$, то есть:
$1^2 + 2^2 + ... + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2(k + 1) + 1)}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}$.
Рассмотрим левую часть равенства для $n = k + 1$:
$1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k + 1)^2 = (1^2 + 2^2 + ... + k^2) + (k + 1)^2$.
Используя предположение индукции:
$\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 = (k + 1) \left(\frac{k(2k + 1)}{6} + k + 1\right)$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$(k + 1) \left(\frac{2k^2 + k + 6k + 6}{6}\right) = (k + 1) \left(\frac{2k^2 + 7k + 6}{6}\right)$.
Разложим квадратный трехчлен $2k^2 + 7k + 6$ на множители: $2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)$.
Получаем: $\frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}$.
Мы получили правую часть равенства для $n = k + 1$.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ доказано.

4) Докажем, что $1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$ для любого натурального $n$.

База индукции. Проверим истинность утверждения для $n = 1$.
Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1(4 \cdot 1^2 - 1)}{3} = \frac{1(4 - 1)}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
$1 = 1$. Утверждение верно для $n = 1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n = k$, то есть:
$1^2 + 3^2 + ... + (2k - 1)^2 = \frac{k(4k^2 - 1)}{3}$.
Докажем, что утверждение верно и для $n = k + 1$. Следующий член последовательности будет $(2(k+1) - 1)^2 = (2k + 1)^2$. Нам нужно доказать:
$1^2 + 3^2 + ... + (2k - 1)^2 + (2k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(4(k + 1)^2 - 1)}{3}$.
Рассмотрим левую часть равенства для $n = k + 1$:
$(1^2 + 3^2 + ... + (2k - 1)^2) + (2k + 1)^2$.
Используя предположение индукции:
$\frac{k(4k^2 - 1)}{3} + (2k + 1)^2$.
Разложим $4k^2 - 1$ как разность квадратов: $4k^2 - 1 = (2k - 1)(2k + 1)$.
$\frac{k(2k - 1)(2k + 1)}{3} + (2k + 1)^2 = (2k + 1) \left(\frac{k(2k - 1)}{3} + 2k + 1\right)$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$(2k + 1) \left(\frac{2k^2 - k + 3(2k + 1)}{3}\right) = (2k + 1) \left(\frac{2k^2 - k + 6k + 3}{3}\right) = (2k + 1) \left(\frac{2k^2 + 5k + 3}{3}\right)$.
Разложим квадратный трехчлен $2k^2 + 5k + 3$ на множители: $2k^2 + 5k + 3 = (k+1)(2k+3)$.
Получаем: $\frac{(2k + 1)(k + 1)(2k + 3)}{3} = \frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3}$.
Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства: $\frac{(k + 1)(4(k + 1)^2 - 1)}{3}$.
Выражение $4(k+1)^2 - 1$ является разностью квадратов: $(2(k+1))^2 - 1^2 = (2(k+1)-1)(2(k+1)+1) = (2k+1)(2k+3)$.
Таким образом, правая часть равна $\frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3}$.
Левая и правая части совпали. Утверждение для $n = k + 1$ доказано.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство $1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$ доказано.