Номер 52.6, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

52.6. Выведите формулу для вычисления суммы

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)}$, где $n \in N$.

Для того чтобы вывести формулу для вычисления данной суммы, представим каждый член суммы в виде разности двух дробей. Общий член суммы имеет вид $a_k = \frac{1}{k(k+1)}$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$.

Воспользуемся методом разложения на простейшие дроби. Искомое представление имеет вид:

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{A(k+1) + Bk}{k(k+1)} = \frac{Ak + A + Bk}{k(k+1)} = \frac{(A+B)k + A}{k(k+1)}$

Сравнивая числители исходной и полученной дробей, имеем $1 = (A+B)k + A$. Это равенство должно выполняться для любого $k$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $k$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} A+B = 0 \\ A = 1 \end{cases}$

Из системы находим, что $A=1$ и $B=-1$. Таким образом, общий член суммы можно представить в виде:

$a_k = \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

Теперь запишем всю сумму, используя это представление для каждого слагаемого:

$S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$

Распишем сумму подробно:

$S_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

Как видно, все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{2}$ сокращается с $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ с $+\frac{1}{3}$ и так далее. Такая сумма называется телескопической. В результате остаются только первый член из первой пары и последний член из последней пары:

$S_n = \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1}$

Упростим полученное выражение, приведя его к общему знаменателю:

$S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

Таким образом, искомая формула для вычисления суммы найдена.

Ответ: $\frac{n}{n+1}$