Номер 51.3, страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

51.3. Докажите, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0$ имеет рациональный корень, то он является целым числом.

51.3.

Пусть дано целое рациональное уравнение (многочлен) с целыми коэффициентами: $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$, где коэффициенты $a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_1, a_0$ являются целыми числами.

Предположим, что это уравнение имеет рациональный корень $x_0$. Любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби. Пусть: $x_0 = \frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$ (целое число), $q \in \mathbb{N}$ (натуральное число, т.е. $q \geq 1$), и наибольший общий делитель чисел $p$ и $q$ равен 1, то есть НОД$(p, q) = 1$. Наша цель — доказать, что $q=1$, что будет означать, что корень $x_0 = p$ является целым числом.

Подставим корень $x_0 = \frac{p}{q}$ в исходное уравнение: $(\frac{p}{q})^n + a_{n-1}(\frac{p}{q})^{n-1} + ... + a_1(\frac{p}{q}) + a_0 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $q^n$. Так как $q \in \mathbb{N}$, то $q^n \neq 0$, и это преобразование является равносильным. $p^n + a_{n-1}p^{n-1}q + a_{n-2}p^{n-2}q^2 + ... + a_1pq^{n-1} + a_0q^n = 0$

Перенесем все члены, кроме первого, в правую часть уравнения: $p^n = -a_{n-1}p^{n-1}q - a_{n-2}p^{n-2}q^2 - ... - a_1pq^{n-1} - a_0q^n$

В правой части уравнения каждый член содержит множитель $q$. Вынесем $q$ за скобки: $p^n = q(-a_{n-1}p^{n-1} - a_{n-2}p^{n-2}q - ... - a_1pq^{n-2} - a_0q^{n-1})$

Поскольку $p, q$ и все коэффициенты $a_i$ являются целыми числами, выражение в скобках также является целым числом. Обозначим это целое число как $K$: $K = -a_{n-1}p^{n-1} - a_{n-2}p^{n-2}q - ... - a_1pq^{n-2} - a_0q^{n-1} \in \mathbb{Z}$

Таким образом, мы получаем равенство $p^n = qK$. Из этого равенства следует, что $p^n$ делится на $q$ нацело (или $q$ является делителем $p^n$).

Теперь воспользуемся тем фактом, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима, то есть числа $p$ и $q$ взаимно просты (НОД$(p, q) = 1$). Из теории чисел известно, что если число $q$ делит произведение $p^n = p \cdot p \cdot ... \cdot p$ и при этом $q$ взаимно просто с $p$, то $q$ должно быть равно 1 (или -1). Поскольку мы определили $q$ как натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), единственной возможностью является $q=1$.

Если $q=1$, то наш рациональный корень $x_0 = \frac{p}{q} = \frac{p}{1} = p$. Так как $p$ — целое число, то и корень $x_0$ является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что если данное уравнение имеет рациональный корень, то этот корень обязательно является целым числом.

Ответ: Утверждение доказано.