Вопросы?, страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое уравнение называют целым рациональным?

2. Каким свойством обладают целые корни целого рационального уравнения с целыми коэффициентами?

3. Каково соотношение между множеством делителей свободного члена целого рационального уравнения с целыми коэффициентами и множеством его целых корней?

1. Какое уравнение называют целым рациональным?

Целым рациональным уравнением называют уравнение вида $P(x) = 0$, где $P(x)$ — это многочлен (полином), то есть выражение, которое можно представить в виде:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$

В этом выражении $x$ — это переменная, $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — некоторые числа, называемые коэффициентами (причем $a_n \neq 0$), а $n$ — натуральное число или ноль, которое называется степенью уравнения. Ключевая особенность такого уравнения заключается в том, что оно не содержит операций деления на переменную или на выражение с переменной. Обе части уравнения являются целыми рациональными выражениями.

Ответ: Целым рациональным уравнением называют уравнение, которое можно привести к виду $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен.

2. Каким свойством обладают целые корни целого рационального уравнения с целыми коэффициентами?

Основное свойство целых корней такого уравнения заключается в следующем: любой целый корень целого рационального уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена (коэффициента $a_0$).

Это свойство является следствием теоремы о рациональных корнях многочлена. Докажем его.

Пусть дано уравнение $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, где все коэффициенты $a_i$ являются целыми числами.

Пусть $x_0$ — это некий целый корень данного уравнения. Тогда при его подстановке в уравнение получается верное числовое равенство:

$a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0 + a_0 = 0$

Выразим свободный член $a_0$ из этого равенства:

$a_0 = - (a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0)$

Теперь в правой части вынесем общий множитель $x_0$ за скобки:

$a_0 = -x_0 (a_n x_0^{n-1} + a_{n-1} x_0^{n-2} + \dots + a_1)$

Поскольку $x_0$ и все коэффициенты $a_i$ — целые числа, то и значение выражения в скобках будет целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$. Тогда равенство примет вид:

$a_0 = -x_0 \cdot k$

Из этого равенства видно, что $a_0$ делится на $x_0$ без остатка. Это и доказывает, что любой целый корень $x_0$ является делителем свободного члена $a_0$.

Ответ: Любой целый корень целого рационального уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

3. Каково соотношение между множеством делителей свободного члена целого рационального уравнения с целыми коэффициентами и множеством его целых корней?

Соотношение между этими двумя множествами непосредственно вытекает из свойства, доказанного в предыдущем пункте. Множество всех целых корней уравнения является подмножеством множества всех целых делителей его свободного члена.

Формально, если обозначить:

• $K$ — множество целых корней уравнения,

• $D$ — множество целых делителей свободного члена $a_0$,

тогда справедливо включение $K \subseteq D$.

Это означает, что для поиска целых корней уравнения достаточно проверить только делители его свободного члена. При этом важно понимать, что не каждый делитель свободного члена обязательно будет корнем уравнения. Множество корней может быть значительно меньше множества делителей.

Пример. Решим уравнение $x^3 - 7x - 6 = 0$.

Это целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами. Свободный член $a_0 = -6$.

Множество целых делителей свободного члена: $D = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \}$.

Если у уравнения есть целые корни, то они находятся среди чисел этого множества. Проверим их последовательной подстановкой:
При $x=1$: $1^3 - 7(1) - 6 = 1 - 7 - 6 = -12 \neq 0$.
При $x=-1$: $(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$. Значит, $x=-1$ — корень.
При $x=2$: $2^3 - 7(2) - 6 = 8 - 14 - 6 = -12 \neq 0$.
При $x=-2$: $(-2)^3 - 7(-2) - 6 = -8 + 14 - 6 = 0$. Значит, $x=-2$ — корень.
При $x=3$: $3^3 - 7(3) - 6 = 27 - 21 - 6 = 0$. Значит, $x=3$ — корень.
При $x=-3$: $(-3)^3 - 7(-3) - 6 = -27 + 21 - 6 = -12 \neq 0$.
При $x=6$: $6^3 - 7(6) - 6 = 216 - 42 - 6 = 168 \neq 0$.
При $x=-6$: $(-6)^3 - 7(-6) - 6 = -216 + 42 - 6 = -180 \neq 0$.

Таким образом, множество целых корней уравнения: $K = \{-2, -1, 3\}$.

Сравнивая множества $K$ и $D$, мы видим, что все элементы $K$ содержатся в $D$, то есть $K$ является подмножеством $D$ ($K \subset D$).

Ответ: Множество целых корней целого рационального уравнения с целыми коэффициентами является подмножеством множества целых делителей его свободного члена.