Номер 50.13, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

50.13. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен $x^3 + ax^2 + bx + ab$ при делении на $x - 2$ даёт в остатке 15, а при делении на $x + 1$ даёт в остатке 0?

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + ab$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Безу, которая гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - c$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$.

Из условия известно, что при делении многочлена $P(x)$ на $x - 2$ остаток равен 15. Согласно теореме Безу, это означает, что $P(2) = 15$.

Подставим $x=2$ в выражение для многочлена:

$P(2) = 2^3 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + ab = 8 + 4a + 2b + ab$.

Приравнивая это выражение к 15, получаем первое уравнение:

$8 + 4a + 2b + ab = 15$

$4a + 2b + ab = 7$

Также из условия известно, что при делении многочлена $P(x)$ на $x + 1$ остаток равен 0. Двучлен $x+1$ можно представить в виде $x - (-1)$, следовательно, по теореме Безу $P(-1) = 0$.

Подставим $x=-1$ в выражение для многочлена:

$P(-1) = (-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + ab = -1 + a - b + ab$.

Приравнивая это выражение к 0, получаем второе уравнение:

$-1 + a - b + ab = 0$

$a - b + ab = 1$

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} 4a + 2b + ab = 7 \\ a - b + ab = 1 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от члена $ab$:

$(4a + 2b + ab) - (a - b + ab) = 7 - 1$

$3a + 3b = 6$

Разделим обе части полученного уравнения на 3:

$a + b = 2$

Из этого простого соотношения выразим $b$ через $a$:

$b = 2 - a$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение исходной системы ($a - b + ab = 1$):

$a - (2 - a) + a(2 - a) = 1$

$a - 2 + a + 2a - a^2 = 1$

Приведем подобные члены:

$-a^2 + 4a - 2 = 1$

$-a^2 + 4a - 3 = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$a^2 - 4a + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители:

$(a - 1)(a - 3) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для параметра $a$:

$a_1 = 1$

$a_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения для параметра $b$, используя ранее полученную формулу $b = 2 - a$.

1. Если $a = 1$, то $b = 2 - 1 = 1$.

2. Если $a = 3$, то $b = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, мы получили две пары значений параметров $(a, b)$, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: $(1; 1)$ или $(3; -1)$.