Номер 50.12, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

50.12. При каких значениях параметров $a$, $b$ и $c$ многочлен $x^3 + ax^2 + bx + c$ делится нацело на двучлены $x - 1$ и $x + 2$, а при делении на двучлен $x + 1$ даёт в остатке 10?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-k$ равен значению этого многочлена в точке $k$, то есть $P(k)$.

Обозначим наш многочлен как $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.

1. Деление на $x-1$ нацело
По условию, $P(x)$ делится на $x-1$ нацело, что означает, что остаток от деления равен 0. Следовательно, по теореме Безу, $P(1) = 0$.
$P(1) = 1^3 + a(1)^2 + b(1) + c = 1 + a + b + c$
Получаем первое уравнение:
$a + b + c = -1$ (1)

2. Деление на $x+2$ нацело
Аналогично, $P(x)$ делится на $x+2$ (или $x-(-2)$) нацело, значит, остаток равен 0 и $P(-2) = 0$.
$P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + c = -8 + 4a - 2b + c$
Получаем второе уравнение:
$4a - 2b + c = 8$ (2)

3. Деление на $x+1$ с остатком 10
При делении $P(x)$ на $x+1$ (или $x-(-1)$) остаток равен 10. Это означает, что $P(-1) = 10$.
$P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c$
Получаем третье уравнение:
$a - b + c = 11$ (3)

4. Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} a + b + c = -1 \\ 4a - 2b + c = 8 \\ a - b + c = 11 \end{cases}$
Для решения системы вычтем уравнение (3) из уравнения (1):
$(a + b + c) - (a - b + c) = -1 - 11$
$2b = -12$
$b = -6$
Теперь подставим значение $b = -6$ в уравнения (1) и (3):
В уравнение (1): $a - 6 + c = -1 \Rightarrow a + c = 5$
В уравнение (3): $a - (-6) + c = 11 \Rightarrow a + c = 5$
Оба уравнения дали одинаковый результат. Подставим $b = -6$ в уравнение (2):
$4a - 2(-6) + c = 8$
$4a + 12 + c = 8$
$4a + c = -4$
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} a + c = 5 \\ 4a + c = -4 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(4a + c) - (a + c) = -4 - 5$
$3a = -9$
$a = -3$
Наконец, найдем $c$ из уравнения $a + c = 5$:
$-3 + c = 5$
$c = 8$
Таким образом, мы нашли значения параметров: $a = -3$, $b = -6$, $c = 8$.
Ответ: $a = -3, b = -6, c = 8$.