gdz.top
Номер 49.8, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 49. Простые и составные числа - номер 49.8, страница 382.
№49.7
№49.8 (с. 382)
Условие. №49.8 (с. 382)
49.8. Найдите все простые числа $p$ такие, что числа $2p + 1$ и $4p + 1$ также простые.
Решение. №49.8 (с. 382)
Чтобы найти все такие простые числа $p$, рассмотрим несколько первых простых чисел и проанализируем общие свойства.
1. Если $p = 2$ (первое простое число):
$2p + 1 = 2(2) + 1 = 5$ (простое число).
$4p + 1 = 4(2) + 1 = 9$ (составное число, так как $9 = 3 \cdot 3$).
Следовательно, $p = 2$ не является решением.
2. Если $p = 3$ (следующее простое число):
$2p + 1 = 2(3) + 1 = 7$ (простое число).
$4p + 1 = 4(3) + 1 = 13$ (простое число).
Все три числа ($p$, $2p+1$, $4p+1$) являются простыми. Следовательно, $p = 3$ является решением.
3. Если $p > 3$ (любое простое число, большее 3):
Любое простое число $p > 3$ не делится на 3. Это означает, что при делении на 3 число $p$ может давать в остатке либо 1, либо 2. Рассмотрим оба этих случая.
Случай А: $p$ дает остаток 1 при делении на 3.
Это можно записать в виде $p = 3k + 1$ для некоторого натурального числа $k$.
Тогда проверим число $2p + 1$:
$2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1)$.
Поскольку $p > 3$, то $k \geq 2$. Это значит, что $2k+1 > 1$. Таким образом, число $2p+1$ имеет делитель 3 и не равно 3, следовательно, оно является составным. В этом случае решения нет.
Случай Б: $p$ дает остаток 2 при делении на 3.
Это можно записать в виде $p = 3k + 2$ для некоторого натурального числа $k$.
Тогда проверим число $4p + 1$:
$4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 = 3(4k + 3)$.
Поскольку $p > 3$ (например, $p=5$, тогда $k=1$), то $k \geq 1$. Это значит, что $4k+3 > 1$. Таким образом, число $4p+1$ имеет делитель 3 и не равно 3, следовательно, оно является составным. В этом случае решения также нет.
Мы рассмотрели все возможные простые числа $p$. Единственное значение, которое удовлетворяет условию задачи, — это $p=3$.
Ответ: 3.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 49.8 расположенного на странице 382 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49.8 (с. 382), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.