Номер 49.2, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

49.2. Известно, что числа $m$ и $n$ таковы, что $mn \vdots p$. Верно ли утверждение, что $m \vdots p$ или $n \vdots p$, если:

1) $p = 29$;

2) $p = 39$?

Данное утверждение напрямую связано со свойством простых чисел. Утверждение "если произведение $mn$ делится на число $p$, то $m$ делится на $p$ или $n$ делится на $p$" верно тогда и только тогда, когда число $p$ является простым. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) $p = 29$
Проверим, является ли число 29 простым. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Для проверки достаточно проверить делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{29} \approx 5.4$. Такими простыми числами являются 2, 3, 5.
Число 29 не делится на 2, так как оно нечетное.
Число 29 не делится на 3, так как сумма его цифр $2+9=11$ не делится на 3.
Число 29 не делится на 5, так как оно не оканчивается на 0 или 5.
Следовательно, 29 — простое число.
Согласно лемме Евклида, если произведение двух целых чисел $m$ и $n$ делится на простое число $p$, то по крайней мере один из сомножителей ($m$ или $n$) должен делиться на $p$.
Так как 29 — простое число, то из того, что $mn \vdots 29$, следует, что $m \vdots 29$ или $n \vdots 29$. Утверждение верно.
Ответ: да, верно.

2) $p = 39$
Проверим, является ли число 39 простым. Число 39 делится на 3, так как сумма его цифр $3+9=12$ делится на 3. Мы можем разложить 39 на множители: $39 = 3 \cdot 13$.
Поскольку 39 имеет делители, отличные от 1 и 39, оно является составным числом.
Для составных чисел данное утверждение, в общем случае, неверно. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример.
Пусть $m = 3$ и $n = 13$.
Найдем их произведение: $mn = 3 \cdot 13 = 39$.
Произведение $mn = 39$ делится на $p = 39$. Таким образом, условие $mn \vdots p$ выполнено.
Однако ни один из множителей не делится на 39:
$m = 3$ не делится на 39.
$n = 13$ не делится на 39.
Мы нашли пример, когда $mn$ делится на 39, но ни $m$, ни $n$ не делятся на 39. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: нет, неверно.