Номер 48.16, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.16. Решите в натуральных числах уравнение $x(y+1)^2 = 243y$.

Поскольку по условию $x$ и $y$ — натуральные числа ($x, y \in \mathbb{N}$), они должны быть положительными целыми числами.

Выразим $x$ через $y$ из данного уравнения: $x(y + 1)^2 = 243y$

$x = \frac{243y}{(y+1)^2}$

Так как $x$ должно быть натуральным числом, то значение дроби $\frac{243y}{(y+1)^2}$ должно быть целым числом.

Рассмотрим числа $y$ и $y+1$. Эти числа являются последовательными натуральными числами, а значит, они взаимно простые, то есть их наибольший общий делитель равен 1:

$\text{НОД}(y, y+1) = 1$

Если два числа взаимно просты, то любые их натуральные степени также взаимно просты. Следовательно, $y$ и $(y+1)^2$ тоже взаимно просты.

$\text{НОД}(y, (y+1)^2) = 1$

Поскольку $x = \frac{243y}{(y+1)^2}$ является целым числом, и $y$ не имеет общих делителей с $(y+1)^2$, то для сокращения дроби необходимо, чтобы $(y+1)^2$ являлось делителем числа 243.

Найдем разложение числа 243 на простые множители:

$243 = 3 \cdot 81 = 3 \cdot 3^4 = 3^5$

Теперь найдем все делители числа $3^5$, которые являются полными квадратами. Это числа вида $3^{2k}$, где $2k \le 5$.

Возможные значения для $(y+1)^2$:

1. $3^0 = 1$
2. $3^2 = 9$
3. $3^4 = 81$

Рассмотрим каждый случай для натурального $y$:

1. $(y+1)^2 = 1$.

$y+1 = 1$ (так как $y$ натуральное, $y+1$ положительно).

$y = 0$. Это число не является натуральным, поэтому данный случай не подходит.

2. $(y+1)^2 = 9$.

$y+1 = 3$.

$y = 2$. Это натуральное число. Найдем соответствующее значение $x$:

$x = \frac{243 \cdot 2}{(2+1)^2} = \frac{243 \cdot 2}{9} = 27 \cdot 2 = 54$.

Получили первую пару натуральных чисел $(54; 2)$.

3. $(y+1)^2 = 81$.

$y+1 = 9$.

$y = 8$. Это натуральное число. Найдем соответствующее значение $x$:

$x = \frac{243 \cdot 8}{(8+1)^2} = \frac{243 \cdot 8}{81} = 3 \cdot 8 = 24$.

Получили вторую пару натуральных чисел $(24; 8)$.

Других делителей числа 243, являющихся полными квадратами, нет. Таким образом, мы нашли все решения.

Ответ: $(54; 2)$, $(24; 8)$.