Номер 48.9, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.9. Существуют ли такие целые числа a, b и c, что:

1) $a + b + c + a^2 + b^2 + c^2 = 1001;$

2) $a^3 + b^3 + c^3 - a - b - c = 1004?$

1) Рассмотрим уравнение $a + b + c + a^2 + b^2 + c^2 = 1001$.

Преобразуем левую часть уравнения, сгруппировав слагаемые:

$(a^2 + a) + (b^2 + b) + (c^2 + c) = 1001$

Вынесем общий множитель в каждой скобке:

$a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 1001$

Выражение вида $n(n+1)$, где $n$ — целое число, представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел обязательно является четным, следовательно, их произведение $n(n+1)$ всегда является четным числом.

Таким образом, каждое из трех слагаемых в левой части уравнения — $a(a+1)$, $b(b+1)$ и $c(c+1)$ — является четным числом.

Сумма трех четных чисел всегда является четным числом. Это означает, что левая часть уравнения при любых целых $a$, $b$ и $c$ будет четной.

Однако правая часть уравнения равна 1001, что является нечетным числом.

Мы получили противоречие: четное число (левая часть) не может равняться нечетному числу (правая часть). Следовательно, не существует таких целых чисел $a$, $b$ и $c$, которые удовлетворяли бы данному уравнению.

Ответ: не существуют.

2) Рассмотрим уравнение $a^3 + b^3 + c^3 - a - b - c = 1004$.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(a^3 - a) + (b^3 - b) + (c^3 - c) = 1004$

Рассмотрим выражение вида $n^3 - n$ для любого целого числа $n$. Разложим его на множители:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$

Это выражение представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Следовательно, их произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на 3 без остатка.

Таким образом, каждое из слагаемых в левой части уравнения — $(a^3 - a)$, $(b^3 - b)$ и $(c^3 - c)$ — делится на 3.

Сумма трех чисел, каждое из которых делится на 3, также должна делиться на 3. Значит, вся левая часть уравнения делится на 3.

Теперь проверим правую часть уравнения — число 1004 — на делимость на 3. Для этого найдем сумму его цифр: $1 + 0 + 0 + 4 = 5$.

Поскольку сумма цифр (5) не делится на 3, то и само число 1004 не делится на 3.

Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения должна делиться на 3, а правая — не делится. Такое равенство для целых чисел невозможно. Следовательно, не существует таких целых чисел $a$, $b$ и $c$, которые удовлетворяли бы данному уравнению.

Ответ: не существуют.