Номер 48.8, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.8. Докажите, что при любом $n \in \mathbb{Z}$ значение выражения:

1) $n^3 + 11n$ кратно 6;

2) $(n^2 - 1)(n^2 - 2n)$ кратно 24.

1)

Чтобы доказать, что выражение $n^3 + 11n$ кратно 6 при любом $n \in Z$, преобразуем его. Для кратности 6 необходимо и достаточно, чтобы выражение было кратно 2 и 3.

Представим выражение в виде суммы: $n^3 + 11n = n^3 - n + 12n$.

Слагаемое $12n$ кратно 6 при любом целом $n$, так как $12$ делится на 6.

Рассмотрим второе слагаемое, $n^3 - n$. Разложим его на множители:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)$.

Это произведение трех последовательных целых чисел. Среди трех последовательных целых чисел всегда есть как минимум одно четное число (кратное 2) и ровно одно число, кратное 3. Следовательно, их произведение всегда кратно $2 \times 3 = 6$.

Таким образом, $n^3 - n$ кратно 6. Поскольку оба слагаемых в выражении $(n^3 - n) + 12n$ кратны 6, то и их сумма $n^3 + 11n$ кратна 6, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Рассмотрим выражение $(n^2 - 1)(n^2 - 2n)$. Чтобы доказать, что оно кратно 24 при любом $n \in Z$, разложим его на множители.

$(n^2 - 1)(n^2 - 2n) = (n - 1)(n + 1)n(n - 2)$.

Переставим множители для удобства: $(n - 2)(n - 1)n(n + 1)$.

Полученное выражение является произведением четырех последовательных целых чисел. Чтобы доказать кратность 24, докажем кратность 3 и 8 (поскольку $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 взаимно простые).

Делимость на 3: Среди любых четырех последовательных целых чисел всегда найдется хотя бы одно число, кратное 3. Поэтому все произведение кратно 3.

Делимость на 8: Среди любых четырех последовательных целых чисел есть ровно два четных числа. Эти два числа являются последовательными четными, т.е. их можно представить как $2k$ и $2k+2$ для некоторого целого $k$. Их произведение равно $2k(2k+2) = 4k(k+1)$. Произведение $k(k+1)$ — это произведение двух последовательных целых чисел, оно всегда четно, то есть делится на 2. Значит, произведение двух четных чисел из нашей последовательности делится на $4 \times 2 = 8$. Следовательно, все произведение $(n - 2)(n - 1)n(n + 1)$ кратно 8.

Поскольку выражение кратно и 3, и 8, оно кратно их произведению, то есть 24, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.