gdz.top
Номер 48.3, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 48. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 48.3, страница 374.
№48.2
№48.3 (с. 374)
Условие. №48.3 (с. 374)
48.3. Докажите, что для любого $n \in N$:
1) НОД $(n; n + 1) = 1$;
2) НОД $(2n; 2n + 2) = 2$.
Решение. №48.3 (с. 374)
1) Пусть $d = \text{НОД}(n; n+1)$. По определению наибольшего общего делителя, $d$ является делителем как числа $n$, так и числа $n+1$.
Из свойств делимости следует, что если число делит два других числа, то оно также делит их разность.
Разность чисел $n+1$ и $n$ равна: $(n+1) - n = 1$.
Следовательно, $d$ является делителем числа 1.
Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in N$), то $d$ также должен быть натуральным числом. Единственный натуральный делитель числа 1 — это 1.
Значит, $d=1$.
Ответ: $\text{НОД}(n; n+1) = 1$.
2) Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя: $\text{НОД}(k \cdot a; k \cdot b) = k \cdot \text{НОД}(a; b)$ для любого натурального $k$.
Рассмотрим выражение $\text{НОД}(2n; 2n+2)$. Мы можем представить его в следующем виде:
$\text{НОД}(2n; 2n+2) = \text{НОД}(2 \cdot n; 2 \cdot (n+1))$.
Вынесем общий множитель 2 за знак НОД:
$2 \cdot \text{НОД}(n; n+1)$.
Как доказано в пункте 1), $\text{НОД}(n; n+1) = 1$.
Подставим это значение в выражение:
$2 \cdot 1 = 2$.
Следовательно, искомое значение равно 2.
Ответ: $\text{НОД}(2n; 2n+2) = 2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 48.3 расположенного на странице 374 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №48.3 (с. 374), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.