Страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое число называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$?

2. Чему равен $\text{НОД}(a; b)$, если $a : b$?

3. Опишите алгоритм Евклида.

4. Какое число называют наименьшим общим кратным чисел $a$ и $b$?

5. Какие числа называют взаимно простыми?

1. Наибольшим общим делителем (сокращенно НОД) двух натуральных чисел $a$ и $b$ называют самое большое натуральное число, на которое делятся без остатка оба числа, и $a$, и $b$. Для нахождения НОД можно разложить оба числа на простые множители и найти произведение их общих множителей. Например, для чисел 18 и 24: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$, $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$. Общие множители: 2 и 3. Тогда НОД(18, 24) = $2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$.

2. Обозначение $a \vdots b$ означает, что число $a$ делится на число $b$ нацело. Если $a$ делится на $b$, то это означает, что $b$ является делителем числа $a$. В то же время, любое число является делителем самого себя, поэтому $b$ является делителем и для $b$. Таким образом, $b$ — это общий делитель чисел $a$ и $b$. Поскольку никакой делитель числа $b$ не может быть больше самого $b$, то $b$ является наибольшим из всех общих делителей. Например, НОД(12; 4) = 4, так как 12 делится на 4.
Ответ: НОД($a$; $b$) = $b$.

3. Алгоритм Евклида — это эффективный метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел. Алгоритм основан на том, что НОД двух чисел равен НОД меньшего числа и остатка от деления большего на меньшее.
Процесс выглядит так (для чисел $a$ и $b$, где $a > b$):
1. Делим большее число $a$ на меньшее $b$ и находим остаток $r_1$.
2. Если остаток $r_1$ равен 0, то $b$ — это НОД.
3. Если остаток $r_1$ не равен 0, то заменяем $a$ на $b$, а $b$ на $r_1$ и повторяем шаг 1.
4. Алгоритм продолжается до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. Последний ненулевой остаток и будет НОД исходных чисел.
Например, найдем НОД(78, 30):
$78 = 2 \cdot 30 + 18$
$30 = 1 \cdot 18 + 12$
$18 = 1 \cdot 12 + 6$
$12 = 2 \cdot 6 + 0$
Последний ненулевой остаток — 6. Значит, НОД(78, 30) = 6.
Ответ: Это алгоритм нахождения НОД двух чисел путем последовательного деления, где на каждом шаге большее число заменяется на меньшее, а меньшее — на остаток от деления, пока остаток не станет равен нулю. Последний ненулевой остаток и есть НОД.

4. Наименьшим общим кратным (сокращенно НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ называют самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на оба эти числа, и на $a$, и на $b$. Например, для чисел 6 и 8: кратные 6 это 6, 12, 18, 24, 30, ...; кратные 8 это 8, 16, 24, 32, ... Наименьшим числом, которое есть в обоих рядах, является 24. Значит, НОК(6, 8) = 24.
Ответ: Наименьшее натуральное число, которое является кратным и числу $a$, и числу $b$.

5. Взаимно простыми называют два целых числа, у которых нет никаких общих делителей, кроме 1. Это равносильно тому, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Например, числа 9 и 10 являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей кроме 1 (НОД(9, 10) = 1), хотя ни 9, ни 10 не являются простыми числами. А числа 6 и 9 не являются взаимно простыми, так как у них есть общий делитель 3 (НОД(6, 9) = 3).
Ответ: Числа, наибольший общий делитель которых равен 1.

48.1. Найдите НОД чисел:

1) 253 и 299;

2) 2491 и 2773.

1) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 253 и 299 можно воспользоваться разложением на простые множители или алгоритмом Евклида.

Способ 1: Разложение на простые множители.

Разложим каждое число на простые множители:

$253 = 11 \cdot 23$

$299 = 13 \cdot 23$

Находим общие множители в разложениях. Общим множителем является число 23. Следовательно, НОД(253, 299) = 23.

Способ 2: Алгоритм Евклида.

Этот метод заключается в последовательном делении с остатком.

1. Делим большее число на меньшее: $299 = 253 \cdot 1 + 46$.

2. Теперь делим делитель (253) на полученный остаток (46): $253 = 46 \cdot 5 + 23$.

3. Продолжаем, делим новый делитель (46) на новый остаток (23): $46 = 23 \cdot 2 + 0$.

Как только остаток становится равен нулю, последний ненулевой остаток является НОД. В нашем случае это 23.

Ответ: 23

2) Найдем НОД чисел 2491 и 2773. Для больших чисел удобнее использовать алгоритм Евклида.

1. Делим большее число на меньшее: $2773 = 2491 \cdot 1 + 282$.

2. Делим делитель (2491) на остаток (282): $2491 = 282 \cdot 8 + 235$.

3. Делим новый делитель (282) на новый остаток (235): $282 = 235 \cdot 1 + 47$.

4. Делим новый делитель (235) на новый остаток (47): $235 = 47 \cdot 5 + 0$.

Деление закончилось без остатка. Последний ненулевой остаток равен 47. Таким образом, НОД(2491, 2773) = 47.

Ответ: 47