Номер 47.27, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.27. Используя сравнения по модулю, докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения:

1) $3^{2n} + 11 \cdot 5^n$ кратно 4;

2) $21^n + 2^{2n+4}$ кратно 17;

3) $4 \cdot 13^n + 37^n + 1$ кратно 6;

4) $3^{3n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1}$ кратно 19;

5) $5^n + 8^n - 2^{n+1}$ кратно 3;

6) $2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$ кратно 37.

1) $3^{2n} + 11 \cdot 5^n$ кратно 4
Для доказательства рассмотрим выражение по модулю 4.
Преобразуем первое слагаемое: $3^{2n} = (3^2)^n = 9^n$.
Найдем остатки от деления на 4 для оснований степеней и коэффициентов:
$9 \equiv 1 \pmod{4}$
$11 \equiv 3 \pmod{4}$ (или $11 \equiv -1 \pmod{4}$)
$5 \equiv 1 \pmod{4}$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$3^{2n} + 11 \cdot 5^n = 9^n + 11 \cdot 5^n \equiv 1^n + 3 \cdot 1^n \equiv 1 + 3 \equiv 4 \equiv 0 \pmod{4}$.
Таким образом, значение выражения всегда делится на 4.
Ответ: Доказано.

2) $21^n + 2^{2n+4}$ кратно 17
Рассмотрим выражение по модулю 17.
Для первого слагаемого: $21 = 17 + 4 \implies 21 \equiv 4 \pmod{17}$. Следовательно, $21^n \equiv 4^n \pmod{17}$.
Преобразуем второе слагаемое: $2^{2n+4} = 2^{2n} \cdot 2^4 = (2^2)^n \cdot 16 = 4^n \cdot 16$.
Так как $16 \equiv -1 \pmod{17}$, то $2^{2n+4} \equiv 4^n \cdot (-1) = -4^n \pmod{17}$.
Сложим оба результата:
$21^n + 2^{2n+4} \equiv 4^n + (-4^n) \equiv 4^n - 4^n \equiv 0 \pmod{17}$.
Таким образом, значение выражения всегда делится на 17.
Ответ: Доказано.

3) $4 \cdot 13^n + 37^n + 1$ кратно 6
Рассмотрим выражение по модулю 6.
Найдем остатки от деления на 6:
$13 = 2 \cdot 6 + 1 \implies 13 \equiv 1 \pmod{6}$.
$37 = 6 \cdot 6 + 1 \implies 37 \equiv 1 \pmod{6}$.
Подставим эти значения в выражение:
$4 \cdot 13^n + 37^n + 1 \equiv 4 \cdot 1^n + 1^n + 1 \pmod{6}$.
$\equiv 4 \cdot 1 + 1 + 1 = 4 + 1 + 1 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$.
Таким образом, значение выражения всегда делится на 6.
Ответ: Доказано.

4) $3^{3n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1}$ кратно 19
Рассмотрим выражение по модулю 19.
Преобразуем каждое слагаемое:
$3^{3n+2} = 3^2 \cdot 3^{3n} = 9 \cdot (3^3)^n = 9 \cdot 27^n$.
$5 \cdot 2^{3n+1} = 5 \cdot 2 \cdot 2^{3n} = 10 \cdot (2^3)^n = 10 \cdot 8^n$.
Найдем остаток от деления 27 на 19: $27 = 19 + 8 \implies 27 \equiv 8 \pmod{19}$.
Теперь всё выражение можно записать в виде:
$9 \cdot 27^n + 10 \cdot 8^n \equiv 9 \cdot 8^n + 10 \cdot 8^n \pmod{19}$.
$\equiv (9+10) \cdot 8^n = 19 \cdot 8^n \equiv 0 \cdot 8^n \equiv 0 \pmod{19}$.
Таким образом, значение выражения всегда делится на 19.
Ответ: Доказано.

5) $5^n + 8^n - 2^{n+1}$ кратно 3
Рассмотрим выражение по модулю 3.
Найдем остатки от деления на 3:
$5 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$.
$8 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$.
$2 \equiv -1 \pmod{3}$.
Подставим эти сравнения в выражение:
$5^n + 8^n - 2^{n+1} \equiv (-1)^n + (-1)^n - (-1)^{n+1} \pmod{3}$.
$\equiv 2 \cdot (-1)^n - (-1) \cdot (-1)^n = 2 \cdot (-1)^n + (-1)^n = (2+1) \cdot (-1)^n = 3 \cdot (-1)^n \equiv 0 \pmod{3}$.
Таким образом, значение выражения всегда делится на 3.
Ответ: Доказано.

6) $2^n + 5 \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$ кратно 37
Заметим, что в условии этой задачи, вероятно, допущена опечатка. Проверим утверждение для частного случая $n=1$:
$2^1 + 5 \cdot 3^{4 \cdot 1} + 5^{3 \cdot 1 + 1} = 2 + 5 \cdot 3^4 + 5^4 = 2 + 5 \cdot 81 + 625 = 2 + 405 + 625 = 1032$.
Разделим 1032 на 37 с остатком: $1032 = 27 \cdot 37 + 33$.
Поскольку остаток не равен нулю, исходное утверждение неверно.
Вероятнее всего, в условии имелось в виду выражение $2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$. Докажем, что оно кратно 37.
Рассмотрим выражение $2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$ по модулю 37.
$2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1} = 2^5 \cdot 2^n \cdot (3^4)^n + 5 \cdot (5^3)^n = 32 \cdot 2^n \cdot 81^n + 5 \cdot 125^n$.
Найдем остатки от деления на 37:
$32 \equiv -5 \pmod{37}$.
$81 = 2 \cdot 37 + 7 \implies 81 \equiv 7 \pmod{37}$.
$125 = 3 \cdot 37 + 14 \implies 125 \equiv 14 \pmod{37}$.
Подставим эти значения:
$32 \cdot 2^n \cdot 81^n + 5 \cdot 125^n \equiv -5 \cdot 2^n \cdot 7^n + 5 \cdot 14^n \pmod{37}$.
$\equiv -5 \cdot (2 \cdot 7)^n + 5 \cdot 14^n \pmod{37}$.
$\equiv -5 \cdot 14^n + 5 \cdot 14^n \equiv 0 \pmod{37}$.
Таким образом, исправленное выражение кратно 37 при любом натуральном $n$.
Ответ: Утверждение в исходной формулировке неверно. Доказано для исправленного выражения $2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$.