gdz.top
Номер 47.19, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 47. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 47.19, страница 366.
№47.18
№47.19 (с. 366)
Условие. №47.19 (с. 366)
47.19. Докажите, что значение выражения $k^3$ при делении на 9 даёт в остатке 0, 1 или 8.
Решение. №47.19 (с. 366)
Для доказательства этого утверждения рассмотрим, какие остатки может давать целое число $k$ при делении на 3. Любое целое число $k$ можно представить в одном из трёх видов: $k = 3n$, $k = 3n + 1$ или $k = 3n + 2$, где $n$ — некоторое целое число. Проанализируем каждый из этих случаев.
1. Пусть $k$ делится на 3 без остатка, то есть $k = 3n$.
Возведём это выражение в куб:
$k^3 = (3n)^3 = 27n^3 = 9 \cdot (3n^3)$.
Поскольку $3n^3$ является целым числом, выражение $k^3$ делится на 9 нацело. Следовательно, остаток от деления равен 0.
2. Пусть $k$ при делении на 3 даёт в остатке 1, то есть $k = 3n + 1$.
Возведём это выражение в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$k^3 = (3n + 1)^3 = (3n)^3 + 3 \cdot (3n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3n \cdot 1^2 + 1^3 = 27n^3 + 27n^2 + 9n + 1$.
Вынесем общий множитель 9 за скобки:
$k^3 = 9(3n^3 + 3n^2 + n) + 1$.
Первое слагаемое $9(3n^3 + 3n^2 + n)$ делится на 9 нацело. Следовательно, при делении всего выражения $k^3$ на 9 остаток будет равен 1.
3. Пусть $k$ при делении на 3 даёт в остатке 2, то есть $k = 3n + 2$.
Возведём это выражение в куб:
$k^3 = (3n + 2)^3 = (3n)^3 + 3 \cdot (3n)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 3n \cdot 2^2 + 2^3 = 27n^3 + 54n^2 + 36n + 8$.
Вынесем общий множитель 9 за скобки:
$k^3 = 9(3n^3 + 6n^2 + 4n) + 8$.
Первое слагаемое $9(3n^3 + 6n^2 + 4n)$ делится на 9 нацело. Следовательно, при делении всего выражения $k^3$ на 9 остаток будет равен 8.
Мы рассмотрели все возможные варианты для целого числа $k$. В результате было показано, что остаток от деления $k^3$ на 9 может быть только 0, 1 или 8, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что значение выражения $k^3$ при делении на 9 может давать в остатке только 0, 1 или 8.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 47.19 расположенного на странице 366 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №47.19 (с. 366), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.