gdz.top
Номер 47.15, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 47. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 47.15, страница 366.
№47.14
№47.15 (с. 366)
Условие. №47.15 (с. 366)
47.15. Докажите, что квадрат целого числа при делении на 3 даёт в остатке 0 или 1.
Решение. №47.15 (с. 366)
Любое целое число $n$ при делении на 3 может давать один из трёх возможных остатков: 0, 1 или 2. Чтобы доказать утверждение, рассмотрим квадрат числа $n$ для каждого из этих трёх случаев.
1. Остаток равен 0.
Если целое число $n$ при делении на 3 даёт в остатке 0, значит, оно кратно 3. Такое число можно представить в виде $n = 3k$, где $k$ — некоторое целое число. Возведём это выражение в квадрат:$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$. Поскольку $3k^2$ является целым числом, то $n^2$ делится на 3 без остатка. Таким образом, остаток от деления в этом случае равен 0.
2. Остаток равен 1.
Если целое число $n$ при делении на 3 даёт в остатке 1, его можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — целое число. Найдём его квадрат:$n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:$n^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. Это выражение представляет собой число, которое при делении на 3 даёт в остатке 1.
3. Остаток равен 2.
Если целое число $n$ при делении на 3 даёт в остатке 2, его можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — целое число. Возведём его в квадрат:$n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4$. Чтобы найти остаток от деления на 3, представим 4 как $3 + 1$:$n^2 = 9k^2 + 12k + 3 + 1$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:$n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. Это выражение также при делении на 3 даёт в остатке 1.
Мы рассмотрели все возможные случаи. Квадрат целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Что и требовалось доказать.
Ответ: утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 47.15 расположенного на странице 366 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №47.15 (с. 366), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.