Номер 47.10, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.10. Существует ли такое число $x$, которое при делении: 1) на 30 и 18 даёт соответственно остатки 13 и 5; 2) на 4 и 5 даёт соответственно остатки 3 и 4?

1) Существует ли такое число $x$, которое при делении на 30 и 18 даёт соответственно остатки 13 и 5?

Условия задачи можно записать в виде системы сравнений:
$x \equiv 13 \pmod{30}$
$x \equiv 5 \pmod{18}$

Из первого сравнения следует, что $x$ можно представить в виде $x = 30k + 13$ для некоторого целого числа $k$.
Из второго сравнения следует, что $x$ можно представить в виде $x = 18m + 5$ для некоторого целого числа $m$.

Рассмотрим эти представления по модулю общего делителя чисел 30 и 18. Найдем их наибольший общий делитель (НОД):
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$18 = 2 \cdot 3^2$
НОД(30, 18) = $2 \cdot 3 = 6$.

Теперь определим, какой остаток даёт число $x$ при делении на 6, исходя из каждого условия.
Из первого условия: $x = 30k + 13 = (6 \cdot 5k) + (12 + 1) = 6(5k + 2) + 1$. Следовательно, $x$ даёт остаток 1 при делении на 6, то есть $x \equiv 1 \pmod{6}$.
Из второго условия: $x = 18m + 5 = (6 \cdot 3m) + 5$. Следовательно, $x$ даёт остаток 5 при делении на 6, то есть $x \equiv 5 \pmod{6}$.

Получено противоречие: одно и то же число $x$ не может давать разные остатки (1 и 5) при делении на одно и то же число (6). Значит, такого числа $x$ не существует.
Ответ: не существует.

2) Существует ли такое число $x$, которое при делении на 4 и 5 даёт соответственно остатки 3 и 4?

Условия задачи можно записать в виде системы сравнений:
$x \equiv 3 \pmod{4}$
$x \equiv 4 \pmod{5}$

Данные сравнения можно переписать, используя отрицательные остатки для удобства:
$x \equiv 3 \pmod{4}$ эквивалентно $x \equiv 3 - 4 \pmod{4}$, то есть $x \equiv -1 \pmod{4}$.
$x \equiv 4 \pmod{5}$ эквивалентно $x \equiv 4 - 5 \pmod{5}$, то есть $x \equiv -1 \pmod{5}$.

Таким образом, система принимает вид:
$x \equiv -1 \pmod{4}$
$x \equiv -1 \pmod{5}$

Это означает, что число $x+1$ делится без остатка и на 4, и на 5. Поскольку числа 4 и 5 являются взаимно простыми (их НОД равен 1), то число $x+1$ должно делиться на их произведение: $4 \cdot 5 = 20$.
Итак, $x+1$ кратно 20. Это можно записать как $x+1 = 20k$ для некоторого целого числа $k$.
Отсюда $x = 20k - 1$.

Мы получили формулу для всех чисел $x$, удовлетворяющих условию, что доказывает их существование.
Например, возьмём $k=1$. Тогда $x = 20 \cdot 1 - 1 = 19$.
Проверим найденное число:
$19 = 4 \cdot 4 + 3$ (остаток 3 при делении на 4).
$19 = 5 \cdot 3 + 4$ (остаток 4 при делении на 5).
Оба условия выполнены.
Ответ: существует.