Номер 47.13, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.13. Известно, что $a \equiv -11 \pmod{8}$, $b \equiv -2 \pmod{8}$. Найдите остаток при делении на 8 числа:

1) $a + b$

2) $a - b$

3) $2a - 3b$

4) $ab$

5) $a^2$

6) $b^3$

Для решения задачи сначала найдем остатки от деления чисел $a$ и $b$ на 8, которые являются неотрицательными числами, меньшими 8. Это упростит дальнейшие вычисления.

Дано, что $a \equiv -11 \pmod{8}$. Чтобы найти положительный остаток, можно прибавить к -11 число, кратное 8, пока не получится неотрицательное число, меньшее 8.
$ -11 + 2 \cdot 8 = -11 + 16 = 5 $.
Следовательно, $a \equiv 5 \pmod{8}$.

Дано, что $b \equiv -2 \pmod{8}$.
$ -2 + 8 = 6 $.
Следовательно, $b \equiv 6 \pmod{8}$.

Теперь, используя свойства сравнений по модулю и найденные остатки, решим каждую часть задачи.

1) a + b
$a + b \equiv 5 + 6 \pmod{8}$
$a + b \equiv 11 \pmod{8}$
Так как $11 = 1 \cdot 8 + 3$, то остаток от деления 11 на 8 равен 3.
$a + b \equiv 3 \pmod{8}$.
Ответ: 3

2) a - b
$a - b \equiv 5 - 6 \pmod{8}$
$a - b \equiv -1 \pmod{8}$
Так как $-1 = -1 \cdot 8 + 7$, то остаток от деления -1 на 8 равен 7.
$a - b \equiv 7 \pmod{8}$.
Ответ: 7

3) 2a - 3b
$2a - 3b \equiv 2 \cdot 5 - 3 \cdot 6 \pmod{8}$
$2a - 3b \equiv 10 - 18 \pmod{8}$
$2a - 3b \equiv -8 \pmod{8}$
Так как $-8$ делится на 8 нацело ($-8 = -1 \cdot 8 + 0$), остаток равен 0.
$2a - 3b \equiv 0 \pmod{8}$.
Ответ: 0

4) ab
$ab \equiv 5 \cdot 6 \pmod{8}$
$ab \equiv 30 \pmod{8}$
Так как $30 = 3 \cdot 8 + 6$, то остаток от деления 30 на 8 равен 6.
$ab \equiv 6 \pmod{8}$.
Ответ: 6

5) a²
$a^2 \equiv 5^2 \pmod{8}$
$a^2 \equiv 25 \pmod{8}$
Так как $25 = 3 \cdot 8 + 1$, то остаток от деления 25 на 8 равен 1.
$a^2 \equiv 1 \pmod{8}$.
Ответ: 1

6) b³
$b^3 \equiv 6^3 \pmod{8}$
$b^3 \equiv 216 \pmod{8}$
Так как $216 = 27 \cdot 8 + 0$, то остаток от деления 216 на 8 равен 0.
Другой способ — использовать $b \equiv -2 \pmod{8}$:
$b^3 \equiv (-2)^3 \pmod{8} \equiv -8 \pmod{8}$. Так как -8 делится на 8 нацело, остаток равен 0.
$b^3 \equiv 0 \pmod{8}$.
Ответ: 0