gdz.top
Номер 47.16, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 47. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 47.16, страница 366.
№47.15
№47.16 (с. 366)
Условие. №47.16 (с. 366)
47.16. Докажите, что квадрат целого числа при делении на 4 даёт в остатке 0 или 1.
Решение. №47.16 (с. 366)
47.16. Для доказательства этого утверждения необходимо рассмотреть все возможные целые числа. Любое целое число $n$ при делении на 2 может давать в остатке либо 0 (четные числа), либо 1 (нечетные числа). Рассмотрим оба этих случая.
Случай 1: Число $n$ — четное.
Если число $n$ четное, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Найдем квадрат этого числа:
$n^2 = (2k)^2 = 4k^2$
Полученное выражение $4k^2$ содержит множитель 4, следовательно, оно делится на 4 без остатка. Таким образом, остаток от деления в этом случае равен 0.
Случай 2: Число $n$ — нечетное.
Если число $n$ нечетное, то его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Найдем квадрат этого числа, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$
Вынесем общий множитель 4 за скобки в первых двух слагаемых:
$n^2 = 4(k^2 + k) + 1$
Это выражение представляет собой число, которое при делении на 4 даёт в частном $(k^2 + k)$ и в остатке 1.
Поскольку любое целое число является либо четным, либо нечетным, мы рассмотрели все возможные варианты. В первом случае остаток от деления квадрата на 4 равен 0, во втором — 1. Других остатков быть не может, что и требовалось доказать.
Ответ: Квадрат четного числа ($n=2k$) имеет вид $4k^2$ и дает остаток 0 при делении на 4. Квадрат нечетного числа ($n=2k+1$) имеет вид $4(k^2 + k) + 1$ и дает остаток 1 при делении на 4. Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 4 даёт в остатке 0 или 1.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 47.16 расположенного на странице 366 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №47.16 (с. 366), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.