Номер 47.9, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.9. Число $b$ при делении на 5 даёт в остатке 2, а при делении на 3 даёт в остатке 1. Найдите остаток при делении числа $b$ на 15.

По условию задачи, число b при делении на 5 даёт в остатке 2. Это можно записать в виде формулы:

$b = 5k + 2$, где k — некоторое целое число.

Также известно, что число b при делении на 3 даёт в остатке 1. Это записывается как:

$b = 3m + 1$, где m — некоторое целое число.

Требуется найти остаток от деления числа b на 15.

Для начала найдём несколько первых натуральных чисел, которые удовлетворяют первому условию ($b = 5k + 2$), подставляя $k = 0, 1, 2, ...$:

2, 7, 12, 17, 22, 27, ...

Теперь из этой последовательности выберем число, которое удовлетворяет второму условию, то есть даёт остаток 1 при делении на 3.

Проверяем число 2: $2 \div 3$ даёт остаток 2. Не подходит.

Проверяем число 7: $7 \div 3 = 2$ с остатком 1. Подходит.

Мы нашли наименьшее натуральное число b, равное 7, которое удовлетворяет обоим условиям. Теперь найдём остаток от деления этого числа на 15:

$7 = 15 \cdot 0 + 7$

Остаток равен 7. Чтобы доказать, что он будет одинаковым для всех таких чисел b, воспользуемся алгебраическим методом.

Мы знаем, что $b = 5k + 2$. Также мы знаем, что это число должно давать остаток 1 при делении на 3. Запишем это в виде сравнения по модулю:

$5k + 2 \equiv 1 \pmod{3}$

Упростим это сравнение. Заменим 5 на его остаток от деления на 3, то есть на 2:

$2k + 2 \equiv 1 \pmod{3}$

Вычтем 2 из обеих частей:

$2k \equiv -1 \pmod{3}$

Поскольку $-1$ сравнимо с 2 по модулю 3 ($-1 = -1 \cdot 3 + 2$), получаем:

$2k \equiv 2 \pmod{3}$

Так как 2 и 3 — взаимно простые числа, мы можем разделить обе части сравнения на 2:

$k \equiv 1 \pmod{3}$

Это означает, что неполное частное k при делении на 3 должно давать в остатке 1. Следовательно, k можно представить в виде $k = 3n + 1$, где n — некоторое целое число.

Теперь подставим это выражение для k в первоначальную формулу для b:

$b = 5k + 2 = 5(3n + 1) + 2$

Раскроем скобки:

$b = 15n + 5 + 2$

$b = 15n + 7$

Полученная формула $b = 15n + 7$ показывает, что любое число b, удовлетворяющее заданным условиям, при делении на 15 всегда будет давать в остатке 7.

Ответ: 7