Номер 47.11, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.11. Вместо звёздочки запишите такое наименьшее неотрицательное целое число, чтобы полученное сравнение было правильным:

1) $-43 \equiv * \pmod{5}$;

2) $* \equiv -2 \pmod{18}$;

3) $* \equiv 6 \pmod{2}$.

1) Требуется найти наименьшее неотрицательное целое число $*$, для которого выполняется сравнение $-43 \equiv * \pmod{5}$. По определению сравнения, это означает, что $-43$ и $*$ дают одинаковый остаток при делении на 5. Следовательно, нам нужно найти остаток от деления $-43$ на 5. Согласно алгоритму деления с остатком, для любых целых чисел $a$ (делимое) и $b$ (делитель, $b \neq 0$) существуют единственные целые числа $q$ (частное) и $r$ (остаток) такие, что $a = bq + r$ и $0 \le r < |b|$. В нашем случае $a = -43$ и $b = 5$. Подберем частное $q$ так, чтобы остаток $r$ был в диапазоне от 0 до 4. Если взять $q = -8$, то $5 \times (-8) = -40$, и тогда $-43 = -40 - 3$. Остаток -3, что неверно. Возьмем частное на единицу меньше, $q = -9$: $5 \times (-9) = -45$. Тогда $-43 = -45 + 2$. Таким образом, $-43 = 5 \times (-9) + 2$. Здесь частное $q=-9$, а остаток $r=2$. Остаток $r=2$ удовлетворяет условию $0 \le 2 < 5$. Значит, наименьшее неотрицательное целое число, которое можно подставить вместо звёздочки, это 2.
Ответ: 2

2) Требуется найти наименьшее неотрицательное целое число $*$, для которого выполняется сравнение $* \equiv -2 \pmod{18}$. Это означает, что искомое число $*$ и число $-2$ дают одинаковый остаток при делении на 18. Остаток по определению должен быть неотрицательным числом в диапазоне от 0 до 17. Чтобы найти этот остаток, мы можем прибавлять к $-2$ модуль (в данном случае 18), пока не получим число в нужном диапазоне. $-2 + 18 = 16$. Число 16 удовлетворяет условию $0 \le 16 < 18$. Таким образом, все числа, сравнимые с $-2$ по модулю 18, можно записать в виде $16 + 18k$, где $k$ — целое число. Наименьшим неотрицательным числом в этом ряду (при $k=0$) является 16.
Ответ: 16

3) Требуется найти наименьшее неотрицательное целое число $*$, для которого выполняется сравнение $* \equiv 6 \pmod{2}$. Это означает, что искомое число $*$ и число 6 должны иметь одинаковый остаток при делении на 2. Найдем остаток от деления 6 на 2: $6 = 2 \times 3 + 0$. Остаток равен 0. Следовательно, наше сравнение эквивалентно следующему: $* \equiv 0 \pmod{2}$. Это означает, что искомое число должно делиться на 2 без остатка. Мы ищем наименьшее неотрицательное целое число, обладающее этим свойством. Таким числом является 0, так как $0 = 2 \times 0 + 0$.
Ответ: 0