Страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа¹ $a$ на число $b$, если:

1) $a = 8, b = 13;$

2) $a = -26, b = 3;$

3) $a = -1, b = 7.$

Деление с остатком целого числа $a$ (делимое) на натуральное число $b$ (делитель) означает нахождение таких целых чисел $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток), что выполняются два условия:

1) $a = b \cdot q + r$

2) $0 \le r < b$

1) $a = 8, b = 13$;

Нам нужно найти неполное частное $q$ и остаток $r$ такие, что $8 = 13 \cdot q + r$, при этом должно выполняться условие $0 \le r < 13$. Поскольку делимое $a=8$ меньше делителя $b=13$, неполное частное $q$ будет равно $0$. Теперь найдем остаток $r$ из основного равенства: $r = a - b \cdot q = 8 - 13 \cdot 0 = 8$. Проверим, выполняется ли условие для остатка: $0 \le 8 < 13$. Условие выполнено.

Ответ: неполное частное 0, остаток 8.

2) $a = -26, b = 3$;

Нам нужно найти неполное частное $q$ и остаток $r$ такие, что $-26 = 3 \cdot q + r$, при этом должно выполняться условие $0 \le r < 3$. Неполное частное $q$ — это наибольшее целое число, для которого выполняется неравенство $b \cdot q \le a$, то есть $3q \le -26$. Разделив обе части неравенства на 3, получим $q \le -26/3$, или $q \le -8\frac{2}{3}$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это $q = -9$. Теперь найдем остаток $r$ из основного равенства: $r = a - b \cdot q = -26 - 3 \cdot (-9) = -26 + 27 = 1$. Проверим, выполняется ли условие для остатка: $0 \le 1 < 3$. Условие выполнено.

Ответ: неполное частное -9, остаток 1.

3) $a = -1, b = 7$.

Нам нужно найти неполное частное $q$ и остаток $r$ такие, что $-1 = 7 \cdot q + r$, при этом должно выполняться условие $0 \le r < 7$. Неполное частное $q$ — это наибольшее целое число, для которого выполняется неравенство $b \cdot q \le a$, то есть $7q \le -1$. Разделив обе части неравенства на 7, получим $q \le -1/7$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это $q = -1$. Теперь найдем остаток $r$ из основного равенства: $r = a - b \cdot q = -1 - 7 \cdot (-1) = -1 + 7 = 6$. Проверим, выполняется ли условие для остатка: $0 \le 6 < 7$. Условие выполнено.

Ответ: неполное частное -1, остаток 6.

47.2. Найдите неполное частное и остаток при делении числа m на число n, если:

1) $m = 9, n = 15;$

2) $m = -31, n = 10;$

3) $m = -6, n = 11.$

Для нахождения неполного частного и остатка при делении целого числа $m$ (делимое) на натуральное число $n$ (делитель) используется представление в виде: $m = n \cdot q + r$, где $q$ — целое число, называемое неполным частным, а $r$ — целое число, называемое остатком, которое должно удовлетворять неравенству $0 \le r < n$.

Требуется найти целые числа $q$ и $r$ такие, что $9 = 15 \cdot q + r$ и $0 \le r < 15$.
Поскольку делимое $m=9$ меньше делителя $n=15$, неполное частное $q$ будет равно 0.
Подставим $q=0$ в уравнение: $9 = 15 \cdot 0 + r$
$9 = 0 + r$
$r = 9$
Проверим, выполняется ли условие для остатка: $0 \le 9 < 15$. Условие выполнено.
Следовательно, неполное частное равно 0, а остаток равен 9.
Ответ: неполное частное 0, остаток 9.

Требуется найти целые числа $q$ и $r$ такие, что $-31 = 10 \cdot q + r$ и $0 \le r < 10$.
Для того чтобы остаток $r$ был неотрицательным, произведение $10 \cdot q$ должно быть меньше или равно $-31$.
Оценим значение $q$: $-31 / 10 = -3.1$. Неполное частное $q$ должно быть первым целым числом, которое не превышает $-3.1$, то есть $q = -4$.
Подставим $q=-4$ в уравнение: $-31 = 10 \cdot (-4) + r$
$-31 = -40 + r$
$r = -31 + 40$
$r = 9$
Проверим, выполняется ли условие для остатка: $0 \le 9 < 10$. Условие выполнено.
Следовательно, неполное частное равно -4, а остаток равен 9.
Ответ: неполное частное -4, остаток 9.

Требуется найти целые числа $q$ и $r$ такие, что $-6 = 11 \cdot q + r$ и $0 \le r < 11$.
Произведение $11 \cdot q$ должно быть меньше или равно $-6$.
Оценим значение $q$: $-6 / 11 \approx -0.54$. Неполное частное $q$ должно быть первым целым числом, которое не превышает $-0.54$, то есть $q = -1$.
Подставим $q=-1$ в уравнение: $-6 = 11 \cdot (-1) + r$
$-6 = -11 + r$
$r = -6 + 11$
$r = 5$
Проверим, выполняется ли условие для остатка: $0 \le 5 < 11$. Условие выполнено.
Следовательно, неполное частное равно -1, а остаток равен 5.
Ответ: неполное частное -1, остаток 5.

47.3. Даны попарно непересекающиеся множества $A$, $B$ и $X$, причём $A \cup B \cup X = Z$. Найдите множество $X$, если $A = \{3k \mid k \in Z\}$, $B = \{3k + 2 \mid k \in Z\}$.

По условию задачи, множества $A$, $B$ и $X$ попарно не пересекаются, а их объединение составляет всё множество целых чисел $\mathbb{Z}$. Это означает, что $A$, $B$ и $X$ образуют разбиение множества $\mathbb{Z}$, то есть каждое целое число принадлежит ровно одному из этих трёх множеств.

Рассмотрим определения множеств $A$ и $B$:

Множество $A = \{3k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ состоит из всех целых чисел, которые делятся на 3 без остатка. Другими словами, это множество всех целых чисел, дающих остаток 0 при делении на 3.

Множество $B = \{3k + 2 \mid k \in \mathbb{Z}\}$ состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают остаток 2.

Согласно теореме о делении с остатком, любое целое число при делении на 3 может давать один из трёх возможных остатков: 0, 1 или 2. Таким образом, всё множество целых чисел $\mathbb{Z}$ можно представить как объединение трёх непересекающихся подмножеств:

1. Множество чисел, дающих остаток 0 при делении на 3 (числа вида $3k$). Это множество $A$.
2. Множество чисел, дающих остаток 1 при делении на 3 (числа вида $3k + 1$).
3. Множество чисел, дающих остаток 2 при делении на 3 (числа вида $3k + 2$). Это множество $B$.

Поскольку множества $A$, $B$ и $X$ в совокупности должны охватывать все целые числа без пересечений, а множества $A$ и $B$ уже содержат числа с остатками 0 и 2 соответственно, то множество $X$ должно состоять из всех оставшихся целых чисел. Это числа, которые при делении на 3 дают остаток 1.

Следовательно, множество $X$ можно записать в виде $X = \{3k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

Ответ: $X = \{3k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

47.4. Какой остаток при делении на 3 даёт число вида $3k - 2$, где $k \in \mathbb{Z}$?

Для нахождения остатка от деления числа вида $3k - 2$ на 3, представим это число в форме $3q + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток, причём $0 \le r < 3$.

Выполним алгебраическое преобразование исходного выражения:

$3k - 2$

Мы можем прибавить и отнять 1, чтобы выделить слагаемое, кратное 3. Это эквивалентно представлению $-2$ как $-3 + 1$:

$3k - 2 = 3k - 3 + 1$

Теперь сгруппируем первые два члена и вынесем за скобки общий множитель 3:

$3k - 3 + 1 = 3(k - 1) + 1$

Полученное выражение $3(k-1) + 1$ полностью соответствует формуле деления с остатком $3q + r$. Здесь делитель равен 3, неполное частное $q = k-1$ (поскольку $k$ является целым числом, $k-1$ также является целым), а остаток $r = 1$.

Остаток $r=1$ удовлетворяет условию $0 \le 1 < 3$. Следовательно, при делении числа вида $3k-2$ на 3 остаток всегда равен 1.

Ответ: 1

47.5. Какой остаток при делении на 6 даёт число вида $6n - 1$, где $n \in \mathbb{Z}$?

47.5.

Чтобы найти остаток от деления числа вида $6n - 1$ на 6, где $n \in \mathbb{Z}$, воспользуемся определением деления с остатком. Согласно этому определению, для любого целого числа $a$ (делимое) и натурального числа $b$ (делитель) существуют единственные целые числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток) такие, что выполняется равенство $a = bq + r$, причём $0 \le r < b$.

В нашем случае делимое $a = 6n - 1$, а делитель $b = 6$. Нам нужно представить выражение $6n - 1$ в виде $6q + r$, где $q$ — целое число, а $r$ удовлетворяет условию $0 \le r < 6$.

Преобразуем выражение $6n - 1$, выделив слагаемое, кратное 6, и остаток:

$6n - 1 = 6n - 6 + 5$

Теперь сгруппируем первые два слагаемых и вынесем 6 за скобки:

$6n - 6 + 5 = 6(n - 1) + 5$

Полученное выражение $6(n - 1) + 5$ имеет требуемый вид $6q + r$. Здесь неполное частное $q = n - 1$, а остаток $r = 5$.

Поскольку по условию $n$ — целое число, то и $q = n - 1$ также является целым числом. Остаток $r = 5$ удовлетворяет неравенству $0 \le 5 < 6$.

Таким образом, при делении любого числа вида $6n - 1$ на 6 в остатке всегда будет 5.

Ответ: 5

47.6. Число $m$ кратно 6. Чему может быть равен остаток при делении числа $m$ на 18?

По условию задачи, число $m$ кратно 6. Это означает, что число $m$ можно представить в виде $m = 6k$, где $k$ — некоторое целое число.

Нам нужно найти все возможные остатки от деления числа $m$ на 18. Деление с остатком можно записать в виде формулы: $m = 18q + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток, причем $0 \le r < 18$.

Подставим выражение для $m$ в эту формулу: $6k = 18q + r$.

Рассмотрим, каким может быть число $k$. Любое целое число $k$ при делении на 3 может давать в остатке 0, 1 или 2. Проанализируем каждый из этих трех случаев.

Случай 1: Число $k$ кратно 3.
В этом случае $k$ можно представить как $k = 3n$ для некоторого целого $n$. Тогда $m = 6k = 6 \cdot (3n) = 18n$. Такое число $m$ делится на 18 нацело, поэтому остаток $r$ равен 0.

Случай 2: Число $k$ при делении на 3 дает остаток 1.
В этом случае $k$ можно представить как $k = 3n + 1$ для некоторого целого $n$. Тогда $m = 6k = 6 \cdot (3n + 1) = 18n + 6$. При делении такого числа $m$ на 18 неполное частное равно $n$, а остаток $r$ равен 6.

Случай 3: Число $k$ при делении на 3 дает остаток 2.
В этом случае $k$ можно представить как $k = 3n + 2$ для некоторого целого $n$. Тогда $m = 6k = 6 \cdot (3n + 2) = 18n + 12$. При делении такого числа $m$ на 18 неполное частное равно $n$, а остаток $r$ равен 12.

Так как мы рассмотрели все возможные варианты для целого числа $k$, других остатков при делении $m$ на 18 быть не может. Все найденные остатки (0, 6, 12) удовлетворяют условию $0 \le r < 18$.

Ответ: 0, 6, 12.

47.7. Число $n$ кратно $4$. Чему может быть равен остаток при делении числа $n$ на $16$?

По условию, число $n$ кратно 4. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $n = 4k$.

Нас интересует остаток от деления числа $n$ на 16. Любое число $n$ можно представить в виде $n = 16q + r$, где $q$ - неполное частное, а $r$ - остаток, причем по определению остатка $0 \le r < 16$.

Подставим выражение для $n$ в формулу деления с остатком:

$4k = 16q + r$

Выразим из этого уравнения остаток $r$:

$r = 4k - 16q$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$r = 4(k - 4q)$

Так как $k$ и $q$ - целые числа, то их разность $(k - 4q)$ также является целым числом. Следовательно, остаток $r$ должен быть кратен 4.

Теперь перечислим все неотрицательные числа, кратные 4, которые меньше 16 (так как $0 \le r < 16$):

0, 4, 8, 12.

Это и есть все возможные значения остатка. Убедимся, что каждое из них может быть получено:

- Если $n = 4$ (кратно 4), то при делении на 16 получаем остаток 4.
- Если $n = 8$ (кратно 4), то при делении на 16 получаем остаток 8.
- Если $n = 12$ (кратно 4), то при делении на 16 получаем остаток 12.
- Если $n = 16$ (кратно 4), то при делении на 16 получаем остаток 0.

Таким образом, остаток при делении числа $n$ на 16 может быть равен 0, 4, 8 или 12.

Ответ: 0, 4, 8, 12.

47.8. Число $a$ при делении на 6 даёт в остатке 3, а при делении на 4 даёт в остатке 1. Найдите остаток при делении числа $a$ на 12.

По условию задачи, число a при делении на 6 даёт в остатке 3. Это можно записать в виде уравнения:
$a = 6k + 3$, где k — некоторое целое число.

Также известно, что число a при делении на 4 даёт в остатке 1. Это можно записать так:
$a = 4m + 1$, где m — некоторое целое число.

Поскольку оба выражения равны a, мы можем их приравнять:
$6k + 3 = 4m + 1$

Далее, упростим это уравнение, чтобы связать переменные k и m:
$6k + 2 = 4m$
Разделим обе части уравнения на 2:
$3k + 1 = 2m$

Левая часть этого равенства, $2m$, всегда является чётным числом, так как она делится на 2. Следовательно, и правая часть, $3k + 1$, также должна быть чётной. Это возможно только в том случае, если $3k$ — нечётное число (так как нечётное число плюс 1 даёт чётное).

Произведение $3k$ будет нечётным только тогда, когда оба множителя (3 и k) нечётные. Отсюда следует, что k — нечётное число.

Любое нечётное целое число k можно представить в виде $k = 2n + 1$, где n — некоторое целое число. Теперь подставим это выражение для k в первую исходную формулу для a:
$a = 6k + 3$
$a = 6(2n + 1) + 3$
$a = 12n + 6 + 3$
$a = 12n + 9$

Полученное выражение $a = 12n + 9$ является общей формой для всех чисел a, удовлетворяющих условиям задачи. Из этой формы видно, что при делении числа a на 12 частное будет равно n, а остаток — 9.

Ответ: 9

47.9. Число $b$ при делении на 5 даёт в остатке 2, а при делении на 3 даёт в остатке 1. Найдите остаток при делении числа $b$ на 15.

По условию задачи, число b при делении на 5 даёт в остатке 2. Это можно записать в виде формулы:

$b = 5k + 2$, где k — некоторое целое число.

Также известно, что число b при делении на 3 даёт в остатке 1. Это записывается как:

$b = 3m + 1$, где m — некоторое целое число.

Требуется найти остаток от деления числа b на 15.

Для начала найдём несколько первых натуральных чисел, которые удовлетворяют первому условию ($b = 5k + 2$), подставляя $k = 0, 1, 2, ...$:

2, 7, 12, 17, 22, 27, ...

Теперь из этой последовательности выберем число, которое удовлетворяет второму условию, то есть даёт остаток 1 при делении на 3.

Проверяем число 2: $2 \div 3$ даёт остаток 2. Не подходит.

Проверяем число 7: $7 \div 3 = 2$ с остатком 1. Подходит.

Мы нашли наименьшее натуральное число b, равное 7, которое удовлетворяет обоим условиям. Теперь найдём остаток от деления этого числа на 15:

$7 = 15 \cdot 0 + 7$

Остаток равен 7. Чтобы доказать, что он будет одинаковым для всех таких чисел b, воспользуемся алгебраическим методом.

Мы знаем, что $b = 5k + 2$. Также мы знаем, что это число должно давать остаток 1 при делении на 3. Запишем это в виде сравнения по модулю:

$5k + 2 \equiv 1 \pmod{3}$

Упростим это сравнение. Заменим 5 на его остаток от деления на 3, то есть на 2:

$2k + 2 \equiv 1 \pmod{3}$

Вычтем 2 из обеих частей:

$2k \equiv -1 \pmod{3}$

Поскольку $-1$ сравнимо с 2 по модулю 3 ($-1 = -1 \cdot 3 + 2$), получаем:

$2k \equiv 2 \pmod{3}$

Так как 2 и 3 — взаимно простые числа, мы можем разделить обе части сравнения на 2:

$k \equiv 1 \pmod{3}$

Это означает, что неполное частное k при делении на 3 должно давать в остатке 1. Следовательно, k можно представить в виде $k = 3n + 1$, где n — некоторое целое число.

Теперь подставим это выражение для k в первоначальную формулу для b:

$b = 5k + 2 = 5(3n + 1) + 2$

Раскроем скобки:

$b = 15n + 5 + 2$

$b = 15n + 7$

Полученная формула $b = 15n + 7$ показывает, что любое число b, удовлетворяющее заданным условиям, при делении на 15 всегда будет давать в остатке 7.

Ответ: 7

47.10. Существует ли такое число $x$, которое при делении: 1) на 30 и 18 даёт соответственно остатки 13 и 5; 2) на 4 и 5 даёт соответственно остатки 3 и 4?

1) Существует ли такое число $x$, которое при делении на 30 и 18 даёт соответственно остатки 13 и 5?

Условия задачи можно записать в виде системы сравнений:
$x \equiv 13 \pmod{30}$
$x \equiv 5 \pmod{18}$

Из первого сравнения следует, что $x$ можно представить в виде $x = 30k + 13$ для некоторого целого числа $k$.
Из второго сравнения следует, что $x$ можно представить в виде $x = 18m + 5$ для некоторого целого числа $m$.

Рассмотрим эти представления по модулю общего делителя чисел 30 и 18. Найдем их наибольший общий делитель (НОД):
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$18 = 2 \cdot 3^2$
НОД(30, 18) = $2 \cdot 3 = 6$.

Теперь определим, какой остаток даёт число $x$ при делении на 6, исходя из каждого условия.
Из первого условия: $x = 30k + 13 = (6 \cdot 5k) + (12 + 1) = 6(5k + 2) + 1$. Следовательно, $x$ даёт остаток 1 при делении на 6, то есть $x \equiv 1 \pmod{6}$.
Из второго условия: $x = 18m + 5 = (6 \cdot 3m) + 5$. Следовательно, $x$ даёт остаток 5 при делении на 6, то есть $x \equiv 5 \pmod{6}$.

Получено противоречие: одно и то же число $x$ не может давать разные остатки (1 и 5) при делении на одно и то же число (6). Значит, такого числа $x$ не существует.
Ответ: не существует.

2) Существует ли такое число $x$, которое при делении на 4 и 5 даёт соответственно остатки 3 и 4?

Условия задачи можно записать в виде системы сравнений:
$x \equiv 3 \pmod{4}$
$x \equiv 4 \pmod{5}$

Данные сравнения можно переписать, используя отрицательные остатки для удобства:
$x \equiv 3 \pmod{4}$ эквивалентно $x \equiv 3 - 4 \pmod{4}$, то есть $x \equiv -1 \pmod{4}$.
$x \equiv 4 \pmod{5}$ эквивалентно $x \equiv 4 - 5 \pmod{5}$, то есть $x \equiv -1 \pmod{5}$.

Таким образом, система принимает вид:
$x \equiv -1 \pmod{4}$
$x \equiv -1 \pmod{5}$

Это означает, что число $x+1$ делится без остатка и на 4, и на 5. Поскольку числа 4 и 5 являются взаимно простыми (их НОД равен 1), то число $x+1$ должно делиться на их произведение: $4 \cdot 5 = 20$.
Итак, $x+1$ кратно 20. Это можно записать как $x+1 = 20k$ для некоторого целого числа $k$.
Отсюда $x = 20k - 1$.

Мы получили формулу для всех чисел $x$, удовлетворяющих условию, что доказывает их существование.
Например, возьмём $k=1$. Тогда $x = 20 \cdot 1 - 1 = 19$.
Проверим найденное число:
$19 = 4 \cdot 4 + 3$ (остаток 3 при делении на 4).
$19 = 5 \cdot 3 + 4$ (остаток 4 при делении на 5).
Оба условия выполнены.
Ответ: существует.

47.11. Вместо звёздочки запишите такое наименьшее неотрицательное целое число, чтобы полученное сравнение было правильным:

1) $-43 \equiv * \pmod{5}$;

2) $* \equiv -2 \pmod{18}$;

3) $* \equiv 6 \pmod{2}$.

1) Требуется найти наименьшее неотрицательное целое число $*$, для которого выполняется сравнение $-43 \equiv * \pmod{5}$. По определению сравнения, это означает, что $-43$ и $*$ дают одинаковый остаток при делении на 5. Следовательно, нам нужно найти остаток от деления $-43$ на 5. Согласно алгоритму деления с остатком, для любых целых чисел $a$ (делимое) и $b$ (делитель, $b \neq 0$) существуют единственные целые числа $q$ (частное) и $r$ (остаток) такие, что $a = bq + r$ и $0 \le r < |b|$. В нашем случае $a = -43$ и $b = 5$. Подберем частное $q$ так, чтобы остаток $r$ был в диапазоне от 0 до 4. Если взять $q = -8$, то $5 \times (-8) = -40$, и тогда $-43 = -40 - 3$. Остаток -3, что неверно. Возьмем частное на единицу меньше, $q = -9$: $5 \times (-9) = -45$. Тогда $-43 = -45 + 2$. Таким образом, $-43 = 5 \times (-9) + 2$. Здесь частное $q=-9$, а остаток $r=2$. Остаток $r=2$ удовлетворяет условию $0 \le 2 < 5$. Значит, наименьшее неотрицательное целое число, которое можно подставить вместо звёздочки, это 2.
Ответ: 2

2) Требуется найти наименьшее неотрицательное целое число $*$, для которого выполняется сравнение $* \equiv -2 \pmod{18}$. Это означает, что искомое число $*$ и число $-2$ дают одинаковый остаток при делении на 18. Остаток по определению должен быть неотрицательным числом в диапазоне от 0 до 17. Чтобы найти этот остаток, мы можем прибавлять к $-2$ модуль (в данном случае 18), пока не получим число в нужном диапазоне. $-2 + 18 = 16$. Число 16 удовлетворяет условию $0 \le 16 < 18$. Таким образом, все числа, сравнимые с $-2$ по модулю 18, можно записать в виде $16 + 18k$, где $k$ — целое число. Наименьшим неотрицательным числом в этом ряду (при $k=0$) является 16.
Ответ: 16

3) Требуется найти наименьшее неотрицательное целое число $*$, для которого выполняется сравнение $* \equiv 6 \pmod{2}$. Это означает, что искомое число $*$ и число 6 должны иметь одинаковый остаток при делении на 2. Найдем остаток от деления 6 на 2: $6 = 2 \times 3 + 0$. Остаток равен 0. Следовательно, наше сравнение эквивалентно следующему: $* \equiv 0 \pmod{2}$. Это означает, что искомое число должно делиться на 2 без остатка. Мы ищем наименьшее неотрицательное целое число, обладающее этим свойством. Таким числом является 0, так как $0 = 2 \times 0 + 0$.
Ответ: 0

47.12. Вместо звёздочки запишите такое наименьшее неотрицательное целое число, чтобы полученное сравнение было правильным:

1) $84 \equiv * (\text{mod } 9);$

2) $-26 \equiv * (\text{mod } 6);$

3) $* \equiv -3 (\text{mod } 11).$

Чтобы найти наименьшее неотрицательное целое число, которое можно подставить вместо звёздочки, нужно найти остаток от деления числа в левой (или правой) части сравнения на модуль, указанный в скобках. Остаток всегда является неотрицательным числом.

1) $84 \equiv * \pmod{9}$

Нам нужно найти наименьшее неотрицательное число, сравнимое с 84 по модулю 9. Это число равно остатку от деления 84 на 9.

Выполним деление с остатком:

$84 \div 9 = 9$ (остаток $3$)

Это можно записать в виде формулы: $84 = 9 \cdot 9 + 3$.

Следовательно, наименьшее неотрицательное число, которое можно поставить вместо звёздочки, это 3.

Ответ: 3

2) $-26 \equiv * \pmod{6}$

Здесь мы ищем наименьшее неотрицательное число, сравнимое с -26 по модулю 6. Для этого можно прибавлять к -26 модуль (число 6) до тех пор, пока не получится первое неотрицательное число.

$-26 + 6 = -20$

$-20 + 6 = -14$

$-14 + 6 = -8$

$-8 + 6 = -2$

$-2 + 6 = 4$

Число 4 — это первое неотрицательное число в этой последовательности. Также можно представить -26 в виде $a = qm + r$, где $r$ — искомый остаток ($0 \le r < 6$):

$-26 = 6 \cdot (-5) + 4$.

Остаток равен 4.

Ответ: 4

3) $* \equiv -3 \pmod{11}$

Нужно найти наименьшее неотрицательное число, сравнимое с -3 по модулю 11. Число -3 отрицательное, поэтому, чтобы получить наименьшее неотрицательное, нужно прибавить к нему модуль (число 11).

$-3 + 11 = 8$.

Число 8 является наименьшим неотрицательным целым числом, сравнимым с -3 по модулю 11. Проверим: $8$ и $-3$ при делении на 11 дают одинаковый остаток (если рассматривать остатки в более широком смысле) или их разность $8 - (-3) = 11$ делится на 11.

Ответ: 8