Номер 47.1, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа¹ $a$ на число $b$, если:

1) $a = 8, b = 13;$

2) $a = -26, b = 3;$

3) $a = -1, b = 7.$

Деление с остатком целого числа $a$ (делимое) на натуральное число $b$ (делитель) означает нахождение таких целых чисел $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток), что выполняются два условия:

1) $a = b \cdot q + r$

2) $0 \le r < b$

1) $a = 8, b = 13$;

Нам нужно найти неполное частное $q$ и остаток $r$ такие, что $8 = 13 \cdot q + r$, при этом должно выполняться условие $0 \le r < 13$. Поскольку делимое $a=8$ меньше делителя $b=13$, неполное частное $q$ будет равно $0$. Теперь найдем остаток $r$ из основного равенства: $r = a - b \cdot q = 8 - 13 \cdot 0 = 8$. Проверим, выполняется ли условие для остатка: $0 \le 8 < 13$. Условие выполнено.

Ответ: неполное частное 0, остаток 8.

2) $a = -26, b = 3$;

Нам нужно найти неполное частное $q$ и остаток $r$ такие, что $-26 = 3 \cdot q + r$, при этом должно выполняться условие $0 \le r < 3$. Неполное частное $q$ — это наибольшее целое число, для которого выполняется неравенство $b \cdot q \le a$, то есть $3q \le -26$. Разделив обе части неравенства на 3, получим $q \le -26/3$, или $q \le -8\frac{2}{3}$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это $q = -9$. Теперь найдем остаток $r$ из основного равенства: $r = a - b \cdot q = -26 - 3 \cdot (-9) = -26 + 27 = 1$. Проверим, выполняется ли условие для остатка: $0 \le 1 < 3$. Условие выполнено.

Ответ: неполное частное -9, остаток 1.

3) $a = -1, b = 7$.

Нам нужно найти неполное частное $q$ и остаток $r$ такие, что $-1 = 7 \cdot q + r$, при этом должно выполняться условие $0 \le r < 7$. Неполное частное $q$ — это наибольшее целое число, для которого выполняется неравенство $b \cdot q \le a$, то есть $7q \le -1$. Разделив обе части неравенства на 7, получим $q \le -1/7$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это $q = -1$. Теперь найдем остаток $r$ из основного равенства: $r = a - b \cdot q = -1 - 7 \cdot (-1) = -1 + 7 = 6$. Проверим, выполняется ли условие для остатка: $0 \le 6 < 7$. Условие выполнено.

Ответ: неполное частное -1, остаток 6.