Номер 46.24, страница 359 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46.24. Дан многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами. Разные числа $a, b$ и $c$ таковы, что $P(a) = P(b) = P(c) = -1$. Докажите, что не существует такого $x_0 \in Z$, что $P(x_0) = 0$.

Доказательство проведем методом от противного.

Пусть $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, и для различных целых чисел $a, b, c$ выполняется $P(a) = P(b) = P(c) = -1$.

Предположим, что существует такое целое число $x_0 \in \mathbb{Z}$, что $P(x_0) = 0$.

Рассмотрим новый многочлен $Q(x) = P(x) + 1$. Поскольку $P(x)$ имеет целые коэффициенты, $Q(x)$ также является многочленом с целыми коэффициентами.

Из условия $P(a) = P(b) = P(c) = -1$ следует, что:

$Q(a) = P(a) + 1 = -1 + 1 = 0$

$Q(b) = P(b) + 1 = -1 + 1 = 0$

$Q(c) = P(c) + 1 = -1 + 1 = 0$

Это означает, что различные целые числа $a, b, c$ являются корнями многочлена $Q(x)$. По теореме Безу, если число является корнем многочлена, то многочлен делится на $(x - \text{корень})$ без остатка. Следовательно, $Q(x)$ можно представить в виде:

$Q(x) = (x-a)(x-b)(x-c)R(x)$

где $R(x)$ — некоторый многочлен. Так как $Q(x)$ и $(x-a)(x-b)(x-c)$ являются многочленами с целыми коэффициентами (и старший коэффициент у $(x-a)(x-b)(x-c)$ равен 1), то частное от их деления, многочлен $R(x)$, также будет иметь целые коэффициенты.

Теперь выразим $P(x)$ через $Q(x)$:

$P(x) = Q(x) - 1 = (x-a)(x-b)(x-c)R(x) - 1$

Подставим в это выражение наше предположение, что $P(x_0) = 0$ для некоторого целого $x_0$:

$P(x_0) = (x_0-a)(x_0-b)(x_0-c)R(x_0) - 1 = 0$

Из этого уравнения получаем:

$(x_0-a)(x_0-b)(x_0-c)R(x_0) = 1$

Поскольку $x_0, a, b, c$ — целые числа, то разности $(x_0-a)$, $(x_0-b)$ и $(x_0-c)$ также являются целыми числами. Так как $R(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, то значение $R(x_0)$ при целом $x_0$ также будет целым числом.

Таким образом, мы имеем произведение четырех целых чисел, которое равно 1. Это возможно только если каждый из сомножителей равен либо 1, либо -1.

Рассмотрим три из этих сомножителей: $(x_0-a)$, $(x_0-b)$ и $(x_0-c)$. Каждый из них может принимать только одно из двух значений: 1 или -1. Но у нас три числа, а возможных значений всего два. По принципу Дирихле, по крайней мере два из этих трех чисел должны быть равны.

Например, предположим, что $(x_0-a) = (x_0-b)$. Это равенство влечет за собой, что $a=b$. Но это противоречит исходному условию, что числа $a, b, c$ различны. Аналогичные противоречия ($a=c$ или $b=c$) возникают при любой другой паре равных сомножителей.

Полученное противоречие показывает, что наше первоначальное предположение о существовании целого корня $x_0$ было неверным.

Ответ: Доказано, что не существует такого целого числа $x_0$, что $P(x_0)=0$.