Страница 359 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46.14. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $n$ значение выражения $1^n + 2^n + 3^n + \dots + 9^n$:

1) кратно 5;

2) не кратно 10.

Обозначим данное выражение как $S = 1^n + 2^n + 3^n + \dots + 9^n$, где $n$ — нечётное натуральное число.

1) кратно 5;

Чтобы доказать, что $S$ кратно 5, сгруппируем слагаемые в сумме. При нечётном $n$ справедливо тождество $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$, из которого следует, что $a^n + b^n$ делится на $a+b$.

$S = (1^n + 9^n) + (2^n + 8^n) + (3^n + 7^n) + (4^n + 6^n) + 5^n$.

Рассмотрим получившиеся группы:
- Сумма $1^n + 9^n$ делится на $1+9=10$, так как $n$ нечётно. Следовательно, эта сумма делится на 5.
- Сумма $2^n + 8^n$ делится на $2+8=10$, так как $n$ нечётно. Следовательно, эта сумма делится на 5.
- Сумма $3^n + 7^n$ делится на $3+7=10$, так как $n$ нечётно. Следовательно, эта сумма делится на 5.
- Сумма $4^n + 6^n$ делится на $4+6=10$, так как $n$ нечётно. Следовательно, эта сумма делится на 5.
- Слагаемое $5^n$ очевидно делится на 5 при любом натуральном $n \ge 1$.

Каждая группа слагаемых в сумме $S$ делится на 5. Следовательно, и вся сумма $S$ делится на 5.

Ответ: доказано, что при любом нечётном натуральном $n$ значение выражения кратно 5.

2) не кратно 10.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно и на 2, и на 5. В пункте 1) мы уже доказали, что выражение кратно 5. Чтобы доказать, что оно не кратно 10, достаточно показать, что оно не делится на 2, то есть является нечётным.

Определим чётность суммы $S$, проанализировав чётность каждого слагаемого:
- Нечётное число в любой натуральной степени — нечётное. В сумме 5 таких слагаемых: $1^n, 3^n, 5^n, 7^n, 9^n$.
- Чётное число в любой натуральной степени (при $n \ge 1$) — чётное. В сумме 4 таких слагаемых: $2^n, 4^n, 6^n, 8^n$.

Сумма пяти нечётных чисел является нечётным числом. Сумма четырёх чётных чисел является чётным числом.

Вся сумма $S$ является суммой нечётного и чётного чисел: $S = (\text{сумма нечётных слагаемых}) + (\text{сумма чётных слагаемых}) = \text{нечётное} + \text{чётное} = \text{нечётное}$.

Поскольку значение выражения $S$ — нечётное число, оно не делится на 2. Следовательно, $S$ не делится и на 10.

Ответ: доказано, что при любом нечётном натуральном $n$ значение выражения не кратно 10.

46.15. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $n > 1$ значение выражения $1^n + 2^n + 3^n + ... + 99^n$ кратно 100.

Обозначим данное выражение через $S$:

$S = 1^n + 2^n + 3^n + ... + 99^n$

По условию, $n$ — нечётное натуральное число и $n > 1$. Необходимо доказать, что $S$ кратно 100.

Для доказательства сгруппируем слагаемые в сумме. В сумме 99 слагаемых. Сгруппируем их попарно, оставив центральный член без пары:

$S = (1^n + 99^n) + (2^n + 98^n) + ... + (49^n + 51^n) + 50^n$

Рассмотрим каждую пару вида $k^n + (100-k)^n$, где $k$ принимает значения от 1 до 49.

Известно, что для любого нечётного натурального $n$ выражение $a^n + b^n$ делится на $a+b$. Это следует из формулы:

$a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - ... + b^{n-1})$

Применим это свойство к каждой паре $k^n + (100-k)^n$. Сумма оснований для каждой такой пары равна:

$k + (100 - k) = 100$

Следовательно, каждая из 49 сумм в скобках, $(k^n + (100-k)^n)$, делится на 100. Сумма этих пар, которую обозначим $S_{пар}$, также будет делиться на 100:

$S_{пар} = (1^n + 99^n) + (2^n + 98^n) + ... + (49^n + 51^n) \equiv 0 \pmod{100}$

Теперь рассмотрим оставшийся член суммы — $50^n$. Чтобы доказать, что вся сумма $S$ делится на 100, нам нужно показать, что и $50^n$ делится на 100.

Разложим 100 на простые множители: $100 = 4 \times 25 = 2^2 \times 5^2$.

Разложим $50^n$ на простые множители:

$50^n = (2 \times 25)^n = (2 \times 5^2)^n = 2^n \times 5^{2n}$

По условию, $n$ — нечётное натуральное число и $n > 1$. Это означает, что $n$ может принимать значения $3, 5, 7, ...$ Таким образом, наименьшее возможное значение для $n$ равно 3.

Проверим делимость $50^n$ на $2^2$ и $5^2$. Поскольку $n \ge 3$, то показатель степени у двойки $n > 2$, а значит, $2^n$ делится на $2^2 = 4$. Аналогично, показатель степени у пятёрки $2n \ge 6$, то есть $2n > 2$, а значит, $5^{2n}$ делится на $5^2 = 25$.

Так как $50^n$ одновременно делится на 4 и на 25 (а эти числа взаимно просты), то $50^n$ делится и на их произведение, то есть на $4 \times 25 = 100$.

Итак, мы представили исходную сумму $S$ в виде $S = S_{пар} + 50^n$. Поскольку и $S_{пар}$, и $50^n$ делятся на 100, их сумма $S$ также делится на 100.

Ответ: Утверждение, вынесенное в условие задачи, доказано.

46.16. Числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения $3x + 8y$ кратно 19.

Докажите, что значение выражения $13x + 3y$ кратно 19.

По условию задачи, значение выражения $3x + 8y$ кратно 19. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $3x + 8y = 19k$. Нам необходимо доказать, что значение выражения $13x + 3y$ также кратно 19.

Для доказательства воспользуемся методом линейной комбинации выражений. Обозначим данные выражения:

$A = 3x + 8y$

$B = 13x + 3y$

По условию, выражение $A$ кратно 19. Мы должны доказать, что $B$ также кратно 19.

Составим такую линейную комбинацию выражений $A$ и $B$, чтобы исключить одну из переменных, например, переменную $x$. Для этого нам нужно, чтобы коэффициенты при $x$ стали одинаковыми. Умножим выражение $A$ на 13, а выражение $B$ на 3:

$13A = 13(3x + 8y) = 39x + 104y$

$3B = 3(13x + 3y) = 39x + 9y$

Теперь, когда коэффициенты при $x$ равны, мы можем вычесть второе полученное выражение из первого, чтобы исключить $x$:

$13A - 3B = (39x + 104y) - (39x + 9y) = 39x + 104y - 39x - 9y = 95y$

В результате мы получили равенство: $13A - 3B = 95y$.

Проанализируем это равенство с точки зрения делимости на 19.

Правая часть равенства, $95y$, кратна 19, так как коэффициент $95 = 5 \cdot 19$.

Рассмотрим левую часть: $13A - 3B$.

По условию, выражение $A$ кратно 19. Следовательно, произведение $13A$ также кратно 19.

Мы получили, что разность $13A - 3B$ кратна 19, и ее уменьшаемое ($13A$) кратно 19. Согласно свойствам делимости, если разность двух чисел и уменьшаемое делятся на некоторое число, то и вычитаемое должно делиться на это число. Следовательно, выражение $3B$ должно быть кратно 19.

Итак, мы установили, что $3 \cdot B$ делится на 19. Поскольку числа 3 и 19 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), из того, что произведение $3B$ делится на 19, следует, что само выражение $B$ должно делиться на 19.

Таким образом, мы доказали, что выражение $B = 13x + 3y$ кратно 19, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

46.17. Числа $c$ и $d$ таковы, что значение выражения $2c + 5d$ кратно 17.

Докажите, что значение выражения $11c + 2d$ кратно 17.

По условию задачи, значение выражения $2c + 5d$ кратно 17. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство:

$2c + 5d = 17k$

Нам необходимо доказать, что выражение $11c + 2d$ также кратно 17.

Рассмотрим выражение $11c + 2d$. Чтобы установить его связь с выражением $2c + 5d$, воспользуемся свойством делимости: если к числу (или от числа) прибавить (или отнять) другое число, кратное 17, то его остаток от деления на 17 не изменится. Поскольку $2c + 5d$ кратно 17, то и любое выражение вида $n \cdot (2c + 5d)$, где $n$ — целое число, также будет кратно 17.

Подберем такое целое число $n$, чтобы в сумме или разности выражений $11c + 2d$ и $n(2c + 5d)$ коэффициенты при $c$ и $d$ стали кратны 17. Попробуем $n=3$.

Рассмотрим сумму выражения $11c + 2d$ и выражения $3 \cdot (2c + 5d)$:

$(11c + 2d) + 3(2c + 5d) = 11c + 2d + 6c + 15d = (11c + 6c) + (2d + 15d) = 17c + 17d = 17(c+d)$

Полученное выражение $17(c+d)$ очевидно кратно 17, так как 17 является одним из его множителей.

Давайте формализуем вывод. Обозначим $A = 11c + 2d$ и $B = 2c + 5d$. Мы получили, что $A + 3B = 17(c+d)$.

Из этого равенства выразим $A$:

$A = 17(c+d) - 3B$

Проанализируем правую часть этого равенства:

1. Выражение $17(c+d)$ кратно 17.

2. По условию, выражение $B = 2c + 5d$ кратно 17. Следовательно, выражение $3B = 3(2c + 5d)$ также кратно 17 (произведение числа, кратного 17, на целое число кратно 17).

Таким образом, выражение $A$ представлено в виде разности двух выражений, каждое из которых кратно 17. Разность двух чисел, кратных 17, всегда кратна 17.

Следовательно, значение выражения $11c + 2d$ кратно 17, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

46.18. Числа $x$ и $y$ таковы, что $(3x + 10y) : 13$. Докажите, что

$(3x + 10y)(3y + 10x) : 169$.

Нам дано, что выражение $(3x + 10y)$ делится на 13. Требуется доказать, что произведение $(3x + 10y)(3y + 10x)$ делится на 169.

Поскольку $169 = 13^2$, для доказательства утверждения нам нужно показать, что произведение $(3x + 10y)(3y + 10x)$ содержит множитель 13 как минимум дважды. По условию, первый множитель $(3x + 10y)$ уже делится на 13. Следовательно, достаточно доказать, что и второй множитель, $(3y + 10x)$, также делится на 13.

Рассмотрим сумму выражений $(3x + 10y)$ и $(3y + 10x)$:$(3x + 10y) + (3y + 10x) = 3x + 10x + 10y + 3y = 13x + 13y$.

Вынесем общий множитель 13 за скобки:$13x + 13y = 13(x + y)$.

Сумма $13(x+y)$ очевидно делится на 13.

Итак, мы имеем равенство:$(3y + 10x) = 13(x + y) - (3x + 10y)$.

Проанализируем правую часть этого равенства. Она представляет собой разность двух слагаемых:
1. $13(x + y)$ — это выражение делится на 13, так как содержит множитель 13.
2. $(3x + 10y)$ — это выражение делится на 13 по условию задачи.

Поскольку разность двух чисел, каждое из которых делится на 13, также делится на 13, мы можем заключить, что левая часть равенства, то есть выражение $(3y + 10x)$, делится на 13.

Таким образом, мы установили, что:
- множитель $(3x + 10y)$ делится на 13 (по условию);
- множитель $(3y + 10x)$ делится на 13 (доказано выше).

Следовательно, их произведение $(3x + 10y)(3y + 10x)$ делится на $13 \times 13 = 169$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

46.19. Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что $n^2 : (m+n)$. Докажите, что $m^3 : (m+n)$.

По условию задачи даны натуральные числа $m$ и $n$, для которых выполняется делимость $n^2$ на $(m+n)$. Запишем это в виде: $(m+n) | n^2$ Необходимо доказать, что $m^3$ также делится на $(m+n)$: $(m+n) | m^3$

Сначала докажем вспомогательное утверждение: если $(m+n) | n^2$, то $(m+n) | n^3$. Из того, что $(m+n) | n^2$, следует, что существует целое число $k$, такое что $n^2 = k(m+n)$. Умножив обе части этого равенства на $n$, получим: $n^3 = n \cdot n^2 = n \cdot k(m+n) = (nk)(m+n)$ Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то $n$ и $k = \frac{n^2}{m+n}$ — целые числа (поскольку $n^2$ делится на $m+n$), их произведение $nk$ также является целым числом. Следовательно, $n^3$ делится на $(m+n)$.

Теперь рассмотрим выражение $m^3$. Воспользуемся известным свойством делимости: если число делит два других числа, то оно делит и их разность. Мы можем представить $m^3$ в виде разности двух выражений: $m^3 = (m^3 + n^3) - n^3$

Рассмотрим каждое из этих выражений на делимость на $(m+n)$:
1. Выражение $(m^3 + n^3)$ можно разложить на множители по формуле суммы кубов: $m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$. Так как один из множителей равен $(m+n)$, то $(m^3 + n^3)$ всегда делится на $(m+n)$.
2. Для выражения $n^3$ мы уже доказали выше, что оно делится на $(m+n)$, исходя из условия задачи.

Поскольку $(m+n)$ делит и $(m^3 + n^3)$, и $n^3$, то оно должно делить и их разность: $(m+n) | ((m^3 + n^3) - n^3)$ Это означает, что $(m+n) | m^3$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

46.20. Трёхзначное число $\overline{abc}$ кратно числу 37. Докажите, что сумма чисел $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ также кратна числу 37.

Обозначим трёхзначное число $\overline{abc}$ как $100a + 10b + c$, где $a, b, c$ — его цифры. Аналогично, числа, полученные циклической перестановкой его цифр, можно записать как:

$\overline{bca} = 100b + 10c + a$

$\overline{cab} = 100c + 10a + b$

По условию, число $\overline{abc}$ кратно 37. Это значит, что $\overline{abc} = 37k$ для некоторого целого числа $k$.

Рассмотрим сумму всех трёх чисел, образованных перестановкой цифр:

$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = (100a + a + 10a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c) = 111a + 111b + 111c$

Вынесем общий множитель 111 за скобки:

$111(a + b + c)$

Так как $111 = 3 \times 37$, то сумма трёх чисел равна:

$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = 3 \times 37 \times (a + b + c)$

Это означает, что сумма $\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}$ всегда делится на 37, поскольку 37 является одним из её множителей.

Нам нужно доказать, что сумма $S = \overline{bca} + \overline{cab}$ кратна 37. Мы можем записать:

$S = (\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}) - \overline{abc}$

Мы установили, что сумма в скобках $(\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab})$ кратна 37. По условию задачи, число $\overline{abc}$ также кратно 37.

Если два числа кратны 37, то и их разность также кратна 37. Следовательно, $S$ кратна 37.

Таким образом, доказано, что сумма чисел $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ кратна числу 37.

Ответ: Утверждение доказано, так как сумма $\overline{bca} + \overline{cab}$ является разностью двух чисел ($\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}$ и $\overline{abc}$), каждое из которых кратно 37.

46.21. Цифры $a$ и $b$ трёхзначного числа $m = \overline{aba}$ таковы, что $(a+b) : 7$. Докажите, что $m : 7$.

Представим трёхзначное число $m = \overline{aba}$ в виде суммы разрядных слагаемых:

$m = 100 \cdot a + 10 \cdot b + a = 101a + 10b$

По условию задачи, сумма цифр $(a + b)$ делится на 7. Это означает, что выражение $(a + b)$ кратно 7.

Выполним преобразование выражения для $m$ таким образом, чтобы можно было использовать данное условие. Для этого представим коэффициенты 101 и 10 через слагаемые, одно из которых кратно 7:

$101 = 98 + 3 = 7 \cdot 14 + 3$

$10 = 7 + 3 = 7 \cdot 1 + 3$

Подставим эти разложения в формулу для числа $m$:

$m = (7 \cdot 14 + 3)a + (7 \cdot 1 + 3)b$

Раскроем скобки:

$m = 98a + 3a + 7b + 3b$

Сгруппируем слагаемые:

$m = (98a + 7b) + (3a + 3b)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$m = 7(14a + b) + 3(a + b)$

Полученное выражение является суммой двух слагаемых: $7(14a + b)$ и $3(a + b)$.

Первое слагаемое, $7(14a + b)$, делится на 7, так как один из его множителей равен 7.

Второе слагаемое, $3(a + b)$, также делится на 7, так как по условию множитель $(a + b)$ делится на 7.

Поскольку оба слагаемых делятся на 7, их сумма, то есть число $m$, также делится на 7.

Таким образом, мы доказали, что $m \vdots 7$.

Ответ: Доказано.

46.22. Докажите, что количество делителей квадрата натурального числа — число нечётное. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Докажите, что количество делителей квадрата натурального числа — число нечётное

Пусть $n$ — произвольное натуральное число. Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число $n > 1$ можно представить в виде канонического разложения на простые множители:

$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$,

где $p_1, p_2, \ldots, p_k$ — различные простые числа, а $a_1, a_2, \ldots, a_k$ — натуральные числа.

Количество натуральных делителей числа $n$, обозначаемое как $\tau(n)$, вычисляется по формуле:

$\tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots(a_k + 1)$.

Возведем число $n$ в квадрат:

$n^2 = (p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k})^2 = p_1^{2a_1} \cdot p_2^{2a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{2a_k}$.

Количество делителей числа $n^2$ будет равно:

$\tau(n^2) = (2a_1 + 1)(2a_2 + 1)\ldots(2a_k + 1)$.

Каждый множитель в этом произведении имеет вид $2a_i + 1$. Поскольку $a_i$ — натуральное число, то $2a_i$ — чётное число. Сумма чётного числа и единицы всегда является нечётным числом. Следовательно, каждый множитель $(2a_i + 1)$ нечётен.

Произведение любого количества нечётных чисел является нечётным числом. Таким образом, $\tau(n^2)$ — нечётное число, что и требовалось доказать.

Другой способ доказательства: Все делители любого числа $N$ можно разбить на пары вида $(d, N/d)$. Если $N$ не является полным квадратом, то для любого делителя $d$ справедливо, что $d \neq N/d$. В этом случае все делители разбиваются на пары, и их общее количество чётно. Если $N$ является квадратом натурального числа, $N = n^2$, то существует один делитель $d=n$, для которого $d = N/d$. Этот делитель образует пару сам с собой. Все остальные делители $d' \neq n$ разбиваются на пары $(d', n^2/d')$. Таким образом, общее количество делителей равно сумме четного числа (от парных делителей) и единицы (от непарного делителя $n$), что является нечётным числом.

Ответ: Доказано, что количество делителей квадрата натурального числа нечётно.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение

Формулировка обратного утверждения: Если натуральное число имеет нечётное количество делителей, то оно является квадратом некоторого натурального числа (полным квадратом).

Доказательство:

Пусть $M$ — натуральное число, и количество его делителей $\tau(M)$ нечётно.

Представим число $M$ в виде канонического разложения на простые множители:

$M = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$.

Количество его делителей равно:

$\tau(M) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots(a_k + 1)$.

По условию, $\tau(M)$ — нечётное число. Произведение целых чисел нечётно тогда и только тогда, когда каждый из сомножителей нечётен. Следовательно, каждый множитель $(a_i + 1)$ является нечётным.

Если сумма $(a_i + 1)$ — нечётное число, то показатель степени $a_i$ должен быть чётным числом. Таким образом, все показатели $a_1, a_2, \ldots, a_k$ в разложении числа $M$ являются чётными. Пусть $a_i = 2b_i$ для некоторых натуральных чисел $b_i$.

Тогда разложение числа $M$ можно записать в виде:

$M = p_1^{2b_1} \cdot p_2^{2b_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{2b_k} = (p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{b_k})^2$.

Пусть $n = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{b_k}$. Так как $p_i$ и $b_i$ — натуральные числа, то $n$ также является натуральным числом. Мы получили, что $M = n^2$, то есть $M$ является квадратом натурального числа. Утверждение доказано.

Ответ: Сформулировано и доказано обратное утверждение: если количество делителей натурального числа нечётно, то это число является квадратом натурального числа.

46.23. Дано 19-значное число, десятичная запись которого не содержит нулей. Докажите, что в записи этого числа можно зачеркнуть несколько цифр так, чтобы число, полученное в результате, было кратным числу 111.

Для доказательства утверждения воспользуемся принципом Дирихле.

По условию, нам дано 19-значное число, в десятичной записи которого нет нулей. Это означает, что все 19 цифр этого числа принадлежат множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

В этой задаче мы можем рассматривать 19 цифр числа как 19 "предметов", которые нужно распределить по 9 "ящикам". В качестве "ящиков" выступают возможные значения цифр (от 1 до 9).

Согласно обобщенному принципу Дирихле, если $N$ предметов раскладываются по $k$ ящикам, то по крайней мере в одном ящике окажется не менее $\lceil N/k \rceil$ предметов.

Применим этот принцип к нашей задаче: количество "предметов" (цифр) $N = 19$, а количество "ящиков" (возможных значений цифр) $k = 9$. Следовательно, как минимум одна из цифр должна встречаться в записи числа не менее чем $\lceil 19/9 \rceil = \lceil 2.111... \rceil = 3$ раза.

Пусть эта цифра — $d$. Поскольку в записи числа нет нулей, $d \in \{1, 2, ..., 9\}$. Итак, мы установили, что в любом 19-значном числе без нулей найдется по меньшей мере три одинаковые цифры $d$.

Теперь мы можем сформировать новое число, вычеркнув из исходного 19-значного числа все цифры, кроме этих трех найденных цифр $d$. Так как при вычеркивании взаимное расположение оставшихся цифр сохраняется, полученное число будет иметь вид $ddd$.

Найдем значение этого числа: $d \cdot 10^2 + d \cdot 10^1 + d \cdot 10^0 = 100d + 10d + d = 111d$.

Полученное число $111d$ очевидно является кратным числу 111, поскольку $d$ — это целое число от 1 до 9.

Таким образом, мы доказали, что в записи любого 19-значного числа без нулей можно зачеркнуть несколько цифр так, чтобы полученное в результате число было кратным 111. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

46.24. Дан многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами. Разные числа $a, b$ и $c$ таковы, что $P(a) = P(b) = P(c) = -1$. Докажите, что не существует такого $x_0 \in Z$, что $P(x_0) = 0$.

Доказательство проведем методом от противного.

Пусть $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, и для различных целых чисел $a, b, c$ выполняется $P(a) = P(b) = P(c) = -1$.

Предположим, что существует такое целое число $x_0 \in \mathbb{Z}$, что $P(x_0) = 0$.

Рассмотрим новый многочлен $Q(x) = P(x) + 1$. Поскольку $P(x)$ имеет целые коэффициенты, $Q(x)$ также является многочленом с целыми коэффициентами.

Из условия $P(a) = P(b) = P(c) = -1$ следует, что:

$Q(a) = P(a) + 1 = -1 + 1 = 0$

$Q(b) = P(b) + 1 = -1 + 1 = 0$

$Q(c) = P(c) + 1 = -1 + 1 = 0$

Это означает, что различные целые числа $a, b, c$ являются корнями многочлена $Q(x)$. По теореме Безу, если число является корнем многочлена, то многочлен делится на $(x - \text{корень})$ без остатка. Следовательно, $Q(x)$ можно представить в виде:

$Q(x) = (x-a)(x-b)(x-c)R(x)$

где $R(x)$ — некоторый многочлен. Так как $Q(x)$ и $(x-a)(x-b)(x-c)$ являются многочленами с целыми коэффициентами (и старший коэффициент у $(x-a)(x-b)(x-c)$ равен 1), то частное от их деления, многочлен $R(x)$, также будет иметь целые коэффициенты.

Теперь выразим $P(x)$ через $Q(x)$:

$P(x) = Q(x) - 1 = (x-a)(x-b)(x-c)R(x) - 1$

Подставим в это выражение наше предположение, что $P(x_0) = 0$ для некоторого целого $x_0$:

$P(x_0) = (x_0-a)(x_0-b)(x_0-c)R(x_0) - 1 = 0$

Из этого уравнения получаем:

$(x_0-a)(x_0-b)(x_0-c)R(x_0) = 1$

Поскольку $x_0, a, b, c$ — целые числа, то разности $(x_0-a)$, $(x_0-b)$ и $(x_0-c)$ также являются целыми числами. Так как $R(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, то значение $R(x_0)$ при целом $x_0$ также будет целым числом.

Таким образом, мы имеем произведение четырех целых чисел, которое равно 1. Это возможно только если каждый из сомножителей равен либо 1, либо -1.

Рассмотрим три из этих сомножителей: $(x_0-a)$, $(x_0-b)$ и $(x_0-c)$. Каждый из них может принимать только одно из двух значений: 1 или -1. Но у нас три числа, а возможных значений всего два. По принципу Дирихле, по крайней мере два из этих трех чисел должны быть равны.

Например, предположим, что $(x_0-a) = (x_0-b)$. Это равенство влечет за собой, что $a=b$. Но это противоречит исходному условию, что числа $a, b, c$ различны. Аналогичные противоречия ($a=c$ или $b=c$) возникают при любой другой паре равных сомножителей.

Полученное противоречие показывает, что наше первоначальное предположение о существовании целого корня $x_0$ было неверным.

Ответ: Доказано, что не существует такого целого числа $x_0$, что $P(x_0)=0$.