Номер 46.14, страница 359 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46.14. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $n$ значение выражения $1^n + 2^n + 3^n + \dots + 9^n$:

1) кратно 5;

2) не кратно 10.

Обозначим данное выражение как $S = 1^n + 2^n + 3^n + \dots + 9^n$, где $n$ — нечётное натуральное число.

1) кратно 5;

Чтобы доказать, что $S$ кратно 5, сгруппируем слагаемые в сумме. При нечётном $n$ справедливо тождество $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$, из которого следует, что $a^n + b^n$ делится на $a+b$.

$S = (1^n + 9^n) + (2^n + 8^n) + (3^n + 7^n) + (4^n + 6^n) + 5^n$.

Рассмотрим получившиеся группы:
- Сумма $1^n + 9^n$ делится на $1+9=10$, так как $n$ нечётно. Следовательно, эта сумма делится на 5.
- Сумма $2^n + 8^n$ делится на $2+8=10$, так как $n$ нечётно. Следовательно, эта сумма делится на 5.
- Сумма $3^n + 7^n$ делится на $3+7=10$, так как $n$ нечётно. Следовательно, эта сумма делится на 5.
- Сумма $4^n + 6^n$ делится на $4+6=10$, так как $n$ нечётно. Следовательно, эта сумма делится на 5.
- Слагаемое $5^n$ очевидно делится на 5 при любом натуральном $n \ge 1$.

Каждая группа слагаемых в сумме $S$ делится на 5. Следовательно, и вся сумма $S$ делится на 5.

Ответ: доказано, что при любом нечётном натуральном $n$ значение выражения кратно 5.

2) не кратно 10.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно и на 2, и на 5. В пункте 1) мы уже доказали, что выражение кратно 5. Чтобы доказать, что оно не кратно 10, достаточно показать, что оно не делится на 2, то есть является нечётным.

Определим чётность суммы $S$, проанализировав чётность каждого слагаемого:
- Нечётное число в любой натуральной степени — нечётное. В сумме 5 таких слагаемых: $1^n, 3^n, 5^n, 7^n, 9^n$.
- Чётное число в любой натуральной степени (при $n \ge 1$) — чётное. В сумме 4 таких слагаемых: $2^n, 4^n, 6^n, 8^n$.

Сумма пяти нечётных чисел является нечётным числом. Сумма четырёх чётных чисел является чётным числом.

Вся сумма $S$ является суммой нечётного и чётного чисел: $S = (\text{сумма нечётных слагаемых}) + (\text{сумма чётных слагаемых}) = \text{нечётное} + \text{чётное} = \text{нечётное}$.

Поскольку значение выражения $S$ — нечётное число, оно не делится на 2. Следовательно, $S$ не делится и на 10.

Ответ: доказано, что при любом нечётном натуральном $n$ значение выражения не кратно 10.