Номер 46.10, страница 358 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46.10. Решите в целых числах уравнение:

1) $x^2 - 4y^2 = 5$;

2) $y^2 + 3xy = 15 + y$;

3) $x^2 - 3xy + 3y - x = 10$;

4) $2y^2 - xy - x^2 = 2$.

1) $x^2 - 4y^2 = 5$

Разложим левую часть уравнения на множители как разность квадратов: $(x - 2y)(x + 2y) = 5$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 2y)$ и $(x + 2y)$ также являются целыми числами. Число 5 — простое, его целые делители: $\pm 1, \pm 5$. Рассмотрим все возможные системы уравнений:

а) $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x + 2y = 5 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 6$, откуда $x = 3$. Тогда $3 + 2y = 5$, $2y=2$, $y=1$. Решение: $(3, 1)$.

б) $\begin{cases} x - 2y = 5 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 6$, откуда $x = 3$. Тогда $3 + 2y = 1$, $2y=-2$, $y=-1$. Решение: $(3, -1)$.

в) $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ x + 2y = -5 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -6$, откуда $x = -3$. Тогда $-3 + 2y = -5$, $2y=-2$, $y=-1$. Решение: $(-3, -1)$.

г) $\begin{cases} x - 2y = -5 \\ x + 2y = -1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -6$, откуда $x = -3$. Тогда $-3 + 2y = -1$, $2y=2$, $y=1$. Решение: $(-3, 1)$.

Ответ: $(3, 1), (3, -1), (-3, -1), (-3, 1)$.

2) $y^2 + 3xy = 15 + y$

Перенесем все члены с переменными в левую часть и сгруппируем: $y^2 - y + 3xy = 15$.

Вынесем $y$ за скобки: $y(y - 1 + 3x) = 15$.

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $y$ и $(y - 1 + 3x)$ являются целыми делителями числа 15. Делители числа 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$. Переберем все возможные целые значения для $y$:

При $y = 1$: $1(1 - 1 + 3x) = 15 \implies 3x = 15 \implies x = 5$. Решение: $(5, 1)$.

При $y = -1$: $-1(-1 - 1 + 3x) = 15 \implies 2 - 3x = 15 \implies -3x = 13$, $x$ не является целым числом.

При $y = 3$: $3(3 - 1 + 3x) = 15 \implies 2 + 3x = 5 \implies 3x = 3 \implies x = 1$. Решение: $(1, 3)$.

При $y = -3$: $-3(-3 - 1 + 3x) = 15 \implies -4 + 3x = -5 \implies 3x = -1$, $x$ не является целым числом.

При $y = 5$: $5(5 - 1 + 3x) = 15 \implies 4 + 3x = 3 \implies 3x = -1$, $x$ не является целым числом.

При $y = -5$: $-5(-5 - 1 + 3x) = 15 \implies -6 + 3x = -3 \implies 3x = 3 \implies x = 1$. Решение: $(1, -5)$.

При $y = 15$: $15(15 - 1 + 3x) = 15 \implies 14 + 3x = 1 \implies 3x = -13$, $x$ не является целым числом.

При $y = -15$: $-15(-15 - 1 + 3x) = 15 \implies -16 + 3x = -1 \implies 3x = 15 \implies x = 5$. Решение: $(5, -15)$.

Ответ: $(5, 1), (1, 3), (1, -5), (5, -15)$.

3) $x^2 - 3xy + 3y - x = 10$

Сгруппируем слагаемые и разложим левую часть на множители:

$(x^2 - x) - (3xy - 3y) = 10$

$x(x - 1) - 3y(x - 1) = 10$

$(x - 1)(x - 3y) = 10$

Множители $(x - 1)$ и $(x - 3y)$ должны быть целыми делителями числа 10 ($\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$). Обозначим $A = x - 1$ и $B = x - 3y$. Тогда $x = A + 1$. Подставив это во второе равенство, получим $(A + 1) - 3y = B$, откуда $3y = A + 1 - B$.

Чтобы $y$ было целым числом, выражение $(A + 1 - B)$ должно быть кратно 3. Проверим все пары делителей $(A, B)$ числа 10:

$A=1, B=10 \implies A+1-B = 1+1-10 = -8$ (не делится на 3).

$A=-1, B=-10 \implies A+1-B = -1+1-(-10) = 10$ (не делится на 3).

$A=2, B=5 \implies A+1-B = 2+1-5 = -2$ (не делится на 3).

$A=-2, B=-5 \implies A+1-B = -2+1-(-5) = 4$ (не делится на 3).

$A=5, B=2 \implies A+1-B = 5+1-2 = 4$ (не делится на 3).

$A=-5, B=-2 \implies A+1-B = -5+1-(-2) = -2$ (не делится на 3).

$A=10, B=1 \implies A+1-B = 10+1-1 = 10$ (не делится на 3).

$A=-10, B=-1 \implies A+1-B = -10+1-(-1) = -8$ (не делится на 3).

Ни в одном из случаев $y$ не является целым числом. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

4) $2y^2 - xy - x^2 = 2$

Умножим уравнение на -1 и перегруппируем слагаемые: $x^2 + xy - 2y^2 = -2$.

Разложим левую часть на множители: $(x - y)(x + 2y) = -2$.

Множители $(x - y)$ и $(x + 2y)$ являются целыми делителями числа -2. Делители числа -2: $\pm 1, \pm 2$. Рассмотрим все возможные системы:

а) $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + 2y = -2 \end{cases}$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $3y = -3$, откуда $y = -1$. Тогда $x - (-1) = 1$, $x = 0$. Решение: $(0, -1)$.

б) $\begin{cases} x - y = -1 \\ x + 2y = 2 \end{cases}$. Вычитая, получаем $3y = 3$, откуда $y = 1$. Тогда $x - 1 = -1$, $x = 0$. Решение: $(0, 1)$.

в) $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + 2y = -1 \end{cases}$. Вычитая, получаем $3y = -3$, откуда $y = -1$. Тогда $x - (-1) = 2$, $x = 1$. Решение: $(1, -1)$.

г) $\begin{cases} x - y = -2 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$. Вычитая, получаем $3y = 3$, откуда $y = 1$. Тогда $x - 1 = -2$, $x = -1$. Решение: $(-1, 1)$.

Ответ: $(0, -1), (0, 1), (1, -1), (-1, 1)$.