gdz.top
Номер 46.11, страница 358 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 46. Делимость нацело и её свойства - номер 46.11, страница 358.
№46.10
№46.11 (с. 358)
Условие. №46.11 (с. 358)
46.11. Существует ли многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что $P(1)=17, P(9)=53$?
Решение. №46.11 (с. 358)
Для решения этой задачи воспользуемся свойством многочленов с целыми коэффициентами. Свойство заключается в следующем: если $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, то для любых двух различных целых чисел $a$ и $b$ разность $P(a) - P(b)$ делится нацело на разность $a - b$.
Докажем это. Пусть $P(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0$, где все коэффициенты $c_i$ являются целыми числами ($c_i \in \mathbb{Z}$).
Рассмотрим разность $P(a) - P(b)$:
$P(a) - P(b) = (c_n a^n + \dots + c_0) - (c_n b^n + \dots + c_0)$
$P(a) - P(b) = c_n(a^n - b^n) + c_{n-1}(a^{n-1} - b^{n-1}) + \dots + c_1(a - b)$
Для любого натурального числа $k$ выражение $a^k - b^k$ можно разложить на множители: $a^k - b^k = (a - b)(a^{k-1} + a^{k-2}b + \dots + ab^{k-2} + b^{k-1})$. Так как $a$ и $b$ — целые числа, то и второй множитель является целым числом. Это означает, что $a^k - b^k$ всегда делится на $a - b$.
Поскольку каждый член $c_k(a^k - b^k)$ в выражении для $P(a) - P(b)$ содержит множитель $(a^k - b^k)$, который делится на $(a - b)$, то и вся сумма делится на $(a - b)$.
Теперь применим это свойство к условиям нашей задачи. У нас есть:
$a = 9$, $b = 1$.
$P(9) = 53$, $P(1) = 17$.
Согласно свойству, разность $P(9) - P(1)$ должна делиться на $9 - 1$.
Вычислим эти разности:
$P(9) - P(1) = 53 - 17 = 36$.
$9 - 1 = 8$.
Теперь проверим, делится ли $36$ на $8$ нацело:
$36 \div 8 = 4$ (остаток $4$).
Поскольку $36$ не делится на $8$ без остатка, это противоречит свойству многочленов с целыми коэффициентами. Следовательно, многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющего заданным условиям, не существует.
Ответ: нет, такой многочлен не существует.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 46.11 расположенного на странице 358 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №46.11 (с. 358), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.