Номер 46.9, страница 358 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46.9. Решите в целых числах уравнение:

1) $9x^2 - y^2 = 6;$

2) $x^2 + 2xy = 2x + 9;$

3) $x^2 + xy - 6y^2 = 6;$

4) $x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14.$

1) $9x^2 - y^2 = 6$

Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов:

$(3x)^2 - y^2 = 6$

$(3x - y)(3x + y) = 6$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $3x - y$ и $3x + y$ также являются целыми числами. Их произведение равно 6. Следовательно, они являются делителями числа 6. Возможные целые делители числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Пусть $A = 3x - y$ и $B = 3x + y$. Тогда $AB = 6$.

Сложим эти два выражения: $(3x - y) + (3x + y) = A + B$, что дает $6x = A + B$.

Вычтем первое выражение из второго: $(3x + y) - (3x - y) = B - A$, что дает $2y = B - A$.

Для того чтобы $x$ был целым числом, сумма $A+B$ должна быть кратна 6. Проверим все возможные пары целых множителей числа 6:

• $A=1, B=6 \implies A+B = 7$, не делится на 6.
• $A=6, B=1 \implies A+B = 7$, не делится на 6.
• $A=-1, B=-6 \implies A+B = -7$, не делится на 6.
• $A=-6, B=-1 \implies A+B = -7$, не делится на 6.
• $A=2, B=3 \implies A+B = 5$, не делится на 6.
• $A=3, B=2 \implies A+B = 5$, не делится на 6.
• $A=-2, B=-3 \implies A+B = -5$, не делится на 6.
• $A=-3, B=-2 \implies A+B = -5$, не делится на 6.

Ни одна из пар не дает сумму, кратную 6. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Другой способ — использование сравнений по модулю. Рассмотрим уравнение по модулю 3:

$9x^2 - y^2 \equiv 6 \pmod{3}$

Поскольку $9x^2$ и 6 делятся на 3, то $9x^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $6 \equiv 0 \pmod{3}$.

$0 - y^2 \equiv 0 \pmod{3}$, то есть $y^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Это означает, что $y^2$ делится на 3. Так как 3 — простое число, то и $y$ должен делиться на 3. Пусть $y = 3k$, где $k$ — целое число.

Подставим это в исходное уравнение:

$9x^2 - (3k)^2 = 6$

$9x^2 - 9k^2 = 6$

$9(x^2 - k^2) = 6$

$x^2 - k^2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Разность квадратов двух целых чисел $x$ и $k$ должна быть целым числом. Но $\frac{2}{3}$ не является целым числом. Получили противоречие.

Ответ: решений в целых числах нет.

2) $x^2 + 2xy = 2x + 9$

Перепишем уравнение как квадратное относительно переменной $x$:

$x^2 + (2y - 2)x - 9 = 0$

Для того чтобы уравнение имело целые решения для $x$, его дискриминант $D$ должен быть полным квадратом.

$D = (2y - 2)^2 - 4(1)(-9) = 4(y - 1)^2 + 36 = 4((y - 1)^2 + 9)$

Чтобы $D$ был полным квадратом, выражение $(y - 1)^2 + 9$ также должно быть полным квадратом. Пусть $(y - 1)^2 + 9 = k^2$ для некоторого целого неотрицательного числа $k$.

$k^2 - (y - 1)^2 = 9$

Разложим левую часть на множители:

$(k - (y - 1))(k + (y - 1)) = 9$

$(k - y + 1)(k + y - 1) = 9$

Оба множителя являются целыми числами, их произведение равно 9. Обозначим $A = k - y + 1$ и $B = k + y - 1$. Возможные пары целых делителей $(A, B)$ числа 9: $(1, 9), (9, 1), (-1, -9), (-9, -1), (3, 3), (-3, -3)$.

Сложив уравнения $A$ и $B$, получим $2k = A+B$. Вычтя первое из второго, получим $2y-2 = B-A$.

Рассмотрим каждую пару:

1. $A=1, B=9$: $2k = 10 \implies k=5$. $2y-2 = 8 \implies 2y=10 \implies y=5$.

Найдем $x$ по формуле корней квадратного уравнения: $x = \frac{-(2y-2) \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{2-2y \pm 2k}{2} = 1-y \pm k$.

$x = 1 - 5 \pm 5 \implies x_1 = 1, x_2 = -9$. Решения: $(1, 5)$ и $(-9, 5)$.

2. $A=9, B=1$: $2k = 10 \implies k=5$. $2y-2 = -8 \implies 2y=-6 \implies y=-3$.

$x = 1 - (-3) \pm 5 = 4 \pm 5 \implies x_1 = 9, x_2 = -1$. Решения: $(9, -3)$ и $(-1, -3)$.

3. $A=3, B=3$: $2k = 6 \implies k=3$. $2y-2 = 0 \implies 2y=2 \implies y=1$.

$x = 1 - 1 \pm 3 = 0 \pm 3 \implies x_1 = 3, x_2 = -3$. Решения: $(3, 1)$ и $(-3, 1)$.

4. $A=-1, B=-9$: $2k = -10 \implies k=-5$. Так как $k$ должно быть неотрицательным, этот случай не дает новых решений (он даст те же значения для $y$ и $x$, что и $A=9, B=1$).

5. $A=-9, B=-1$: $2k = -10 \implies k=-5$. Аналогично случаю 1.

6. $A=-3, B=-3$: $2k = -6 \implies k=-3$. Аналогично случаю 3.

Ответ: $(1, 5), (-9, 5), (9, -3), (-1, -3), (3, 1), (-3, 1)$.

3) $x^2 + xy - 6y^2 = 6$

Разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно $x$ или $y$.

$(x + 3y)(x - 2y) = 6$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $x + 3y$ и $x - 2y$ являются целыми делителями числа 6. Пусть $A = x + 3y$ и $B = x - 2y$. Тогда $AB = 6$.

Вычтем второе уравнение из первого: $(x + 3y) - (x - 2y) = A - B$, что дает $5y = A - B$.

Чтобы $y$ было целым числом, разность $A-B$ должна быть кратна 5. Проверим пары делителей числа 6:

1. $A=1, B=6 \implies A-B = -5$. Это кратно 5.

$5y = -5 \implies y = -1$. Подставим в $x - 2y = 6$: $x - 2(-1) = 6 \implies x+2=6 \implies x=4$. Решение: $(4, -1)$.

2. $A=6, B=1 \implies A-B = 5$. Это кратно 5.

$5y = 5 \implies y = 1$. Подставим в $x - 2y = 1$: $x - 2(1) = 1 \implies x-2=1 \implies x=3$. Решение: $(3, 1)$.

3. $A=-1, B=-6 \implies A-B = 5$. Это кратно 5.

$5y = 5 \implies y = 1$. Подставим в $x - 2y = -6$: $x - 2(1) = -6 \implies x-2=-6 \implies x=-4$. Решение: $(-4, 1)$.

4. $A=-6, B=-1 \implies A-B = -5$. Это кратно 5.

$5y = -5 \implies y = -1$. Подставим в $x - 2y = -1$: $x - 2(-1) = -1 \implies x+2=-1 \implies x=-3$. Решение: $(-3, -1)$.

5. Другие пары делителей (2,3), (3,2), (-2,-3), (-3,-2) не дают разность, кратную 5. Например, для (2,3) $A-B = -1$.

Ответ: $(4, -1), (3, 1), (-4, 1), (-3, -1)$.

4) $x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14$

Попытаемся разложить левую часть на множители. Сначала разложим квадратичную часть $x^2 - 2xy - 3y^2$:

$x^2 - 2xy - 3y^2 = (x - 3y)(x + y)$

Теперь попробуем представить всю левую часть в виде $(x - 3y + a)(x + y + b)$.

$(x - 3y + a)(x + y + b) = x^2 - 2xy - 3y^2 + (a+b)x + (a-3b)y + ab$

Сравним коэффициенты с исходным уравнением $x^2 - 2xy - 3y^2 + 1x + 1y = 14$:

$\begin{cases} a+b = 1 \\ a-3b = 1 \end{cases}$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $4b=0 \implies b=0$. Тогда из первого уравнения $a=1$.

Таким образом, левая часть уравнения равна $(x-3y+1)(x+y)$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 3y + 1)(x + y) = 14$

Пусть $A = x - 3y + 1$ и $B = x + y$. $A$ и $B$ — целые делители числа 14. Пары делителей: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.

Получаем систему: $\begin{cases} x - 3y + 1 = A \\ x + y = B \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго: $(x+y) - (x-3y+1) = B - A \implies 4y - 1 = B - A \implies 4y = B - A + 1$.

Для того чтобы $y$ было целым, $B-A+1$ должно быть кратно 4.

1. $A=1, B=14 \implies B-A+1 = 14-1+1=14$. Не кратно 4.

2. $A=14, B=1 \implies B-A+1 = 1-14+1=-12$. Кратно 4.

$4y=-12 \implies y=-3$. Из $x+y=B$: $x-3=1 \implies x=4$. Решение: $(4, -3)$.

3. $A=-1, B=-14 \implies B-A+1 = -14-(-1)+1=-12$. Кратно 4.

$4y=-12 \implies y=-3$. Из $x+y=B$: $x-3=-14 \implies x=-11$. Решение: $(-11, -3)$.

4. $A=-14, B=-1 \implies B-A+1 = -1-(-14)+1=14$. Не кратно 4.

5. $A=2, B=7 \implies B-A+1 = 7-2+1=6$. Не кратно 4.

6. $A=7, B=2 \implies B-A+1 = 2-7+1=-4$. Кратно 4.

$4y=-4 \implies y=-1$. Из $x+y=B$: $x-1=2 \implies x=3$. Решение: $(3, -1)$.

7. $A=-2, B=-7 \implies B-A+1 = -7-(-2)+1=-4$. Кратно 4.

$4y=-4 \implies y=-1$. Из $x+y=B$: $x-1=-7 \implies x=-6$. Решение: $(-6, -1)$.

8. $A=-7, B=-2 \implies B-A+1 = -2-(-7)+1=6$. Не кратно 4.

Ответ: $(4, -3), (-11, -3), (3, -1), (-6, -1)$.