Страница 358 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Когда говорят, что целое число $a$ делится нацело на целое число $b$?

2. Какое число называют делителем числа $a$?

3. Какое число называют кратным числа $b$?

4. Сформулируйте свойства делимости нацело.

1. Когда говорят, что целое число a делится нацело на целое число b?
Говорят, что целое число $a$ делится нацело (или без остатка) на целое число $b$, не равное нулю ($b \ne 0$), если существует такое целое число $c$, что выполняется равенство $a = b \cdot c$. Это означает, что частное от деления $a$ на $b$ является целым числом.
Ответ: Говорят, что целое число $a$ делится нацело на целое число $b$ ($b \ne 0$), если существует такое целое число $c$, что $a = b \cdot c$.

2. Какое число называют делителем числа a?
Делителем целого числа $a$ называют такое целое число $b$ ($b \ne 0$), на которое число $a$ делится без остатка. Например, делителями числа 12 являются числа 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12.
Ответ: Делителем числа $a$ называют такое целое число, на которое $a$ делится без остатка.

3. Какое число называют кратным числа b?
Кратным целого числа $b$ называют такое целое число $a$, которое делится на $b$ без остатка. Иначе говоря, число $a$ является кратным числу $b$, если оно может быть представлено в виде произведения $a = b \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число. Например, числа 12, 18, 24 являются кратными числа 6.
Ответ: Кратным числа $b$ называют такое целое число $a$, которое делится на $b$ без остатка.

4. Сформулируйте свойства делимости нацело.
Основные свойства делимости для целых чисел:
1. Любое целое число $a$ ($a \ne 0$) делится на $1$, $-1$, $a$ и $-a$.
2. Нуль делится на любое целое число $b$, не равное нулю.
3. Транзитивность: если $a$ делится на $b$ и $b$ делится на $c$, то $a$ делится на $c$ (при $b, c \ne 0$).
4. Свойство суммы и разности: если числа $a$ и $b$ делятся на $c$, то их сумма $a + b$ и разность $a - b$ также делятся на $c$.
5. Свойство произведения: если число $a$ делится на число $b$, то произведение $a \cdot c$ также делится на $b$ для любого целого числа $c$.
6. Если $a$ делится на $b$ и $b$ делится на $a$, то $|a| = |b|$ (при $a, b \ne 0$).
Ответ: Основные свойства делимости включают в себя: транзитивность, делимость суммы, разности и произведения, а также особые случаи делимости, связанные с нулем и единицей.

46.1. Число1 $m$ кратно 6. Докажите, что $(m^2 - 4m) : 12.$

46.1. По условию, число $m$ кратно 6. Это означает, что $m$ можно представить в виде $m = 6k$, где $k$ — некоторое целое число. Требуется доказать, что выражение $(m^2 - 4m)$ делится на 12.

Разложим данное выражение на множители:$m^2 - 4m = m(m-4)$.

Подставим $m = 6k$ в полученное выражение:$m(m-4) = 6k(6k-4)$.

Вынесем общий множитель 2 из выражения в скобках:$6k(6k-4) = 6k \cdot 2(3k-2)$.

Перемножив множители, получим:$6k \cdot 2(3k-2) = 12k(3k-2)$.

Так как $k$ является целым числом, то и выражение $k(3k-2)$ является целым числом. Обозначим $n = k(3k-2)$, где $n$ — целое число. Таким образом, исходное выражение равно $12n$, что по определению означает, что оно кратно 12. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

46.2. Число $n$ кратно 4. Докажите, что $(n^2 + 8n) : 16$.

46.2.

По условию задачи, число $n$ кратно 4. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство:

$n = 4k$

Необходимо доказать, что выражение $(n^2 + 8n)$ делится на 16. Для этого подставим $n = 4k$ в это выражение:

$n^2 + 8n = (4k)^2 + 8(4k)$

Упростим полученное выражение, возведя в квадрат и выполнив умножение:

$(4k)^2 + 8(4k) = 16k^2 + 32k$

Теперь вынесем общий множитель 16 за скобки:

$16k^2 + 32k = 16(k^2 + 2k)$

Так как $k$ является целым числом, то и выражение в скобках $(k^2 + 2k)$ также является целым числом. Обозначим его как $m = k^2 + 2k$, где $m$ — целое число.

Тогда исходное выражение можно представить в виде:

$n^2 + 8n = 16m$

Поскольку выражение $n^2 + 8n$ равно произведению числа 16 на целое число $m$, это означает, что оно кратно 16, то есть делится на 16 без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

46.3. Докажите, что если $a:c$ и $(a+b):c$, то $b:c$.

Для доказательства воспользуемся определением делимости чисел. Утверждение, что некоторое число $x$ делится нацело на число $y$ (записывается как $x \vdots y$), означает, что существует такое целое число $z$, что $x = z \cdot y$.

Согласно условию задачи, $a$ делится на $c$ ($a:c$). Это значит, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство:
$a = k \cdot c$

Также по условию, сумма $(a + b)$ делится на $c$ ($(a+b):c$). Это значит, что существует такое целое число $m$, для которого выполняется равенство:
$a + b = m \cdot c$

Нам нужно доказать, что $b$ делится на $c$ ($b:c$), то есть показать, что существует такое целое число $n$, что $b = n \cdot c$.

Выразим $b$ из второго равенства, вычитая $a$ из обеих частей:
$b = (a + b) - a$

Теперь подставим в полученное выражение для $b$ правые части равенств из условий: вместо $(a+b)$ подставим $m \cdot c$, а вместо $a$ подставим $k \cdot c$.
$b = m \cdot c - k \cdot c$

Вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$b = (m - k) \cdot c$

Поскольку $m$ и $k$ являются целыми числами, их разность $(m - k)$ также является целым числом. Обозначим эту разность за $n$:
$n = m - k$, где $n$ — целое число.

Таким образом, мы получили равенство $b = n \cdot c$, где $n$ — целое число. По определению делимости, это означает, что число $b$ делится нацело на число $c$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

46.4. Числа $a$ и $b$ таковы, что каждое из чисел $a + 3$ и $b + 29$ кратно 13.

Докажите, что число $a - b$ также кратно 13.

По условию задачи дано, что числа $a+3$ и $b+29$ кратны 13.

Воспользуемся свойством делимости: если два числа делятся на некоторое число, то их разность также делится на это число. Рассмотрим разность выражений $(a+3)$ и $(b+29)$:

$(a+3) - (b+29) = a + 3 - b - 29 = a - b - 26$.

Так как оба числа, $(a+3)$ и $(b+29)$, кратны 13, то и их разность, $(a - b - 26)$, также должна быть кратна 13.

Теперь рассмотрим искомое выражение $a-b$. Его можно представить в виде суммы двух слагаемых:

$a-b = (a - b - 26) + 26$.

Проанализируем каждое слагаемое в этой сумме:

1. Первое слагаемое, $(a - b - 26)$, кратно 13, как мы уже доказали выше.
2. Второе слагаемое, 26, также кратно 13, поскольку $26 = 2 \cdot 13$.

Снова воспользуемся свойством делимости: если два числа кратны некоторому числу, то их сумма также кратна этому числу. Поскольку оба слагаемых, $(a - b - 26)$ и 26, кратны 13, их сумма, которая равна $a-b$, также кратна 13.

Таким образом, мы доказали, что число $a-b$ кратно 13.

Ответ: Доказательство приведено выше.

46.5. Числа $m$ и $n$ таковы, что каждое из чисел $m + 5$ и $39 - n$ кратно 17.

Докажите, что число $m + n$ также кратно 17.

По условию задачи, каждое из чисел $m+5$ и $39-n$ кратно 17.

Воспользуемся свойством делимости: если два числа делятся на некоторое число (в нашем случае на 17), то их сумма и разность также делятся на это число.

Рассмотрим разность данных выражений. Эта разность также должна быть кратна 17:
$(m+5) - (39-n)$
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$m+5-39+n = m+n-34$

Таким образом, мы установили, что число $m+n-34$ кратно 17.

Теперь выразим искомую сумму $m+n$ через полученное кратное 17 выражение:
$m+n = (m+n-34) + 34$
Мы получили сумму двух слагаемых:
1. Первое слагаемое, $(m+n-34)$, кратно 17, как мы доказали выше.
2. Второе слагаемое, 34, также кратно 17, поскольку $34 = 2 \times 17$.

Согласно свойству делимости, сумма двух чисел, кратных 17, также будет кратна 17. Следовательно, их сумма, которая равна $m+n$, кратна 17.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

46.6. Числа $a, b$ и $m$ таковы, что $am : (a + b)$. Докажите, что $bm : (a + b)$.

По условию задачи дано, что произведение $am$ делится нацело на сумму $(a+b)$. Это можно записать с помощью символа делимости: $am \vdots (a+b)$. Нам нужно доказать, что из этого следует делимость $bm$ на $(a+b)$, то есть $bm \vdots (a+b)$.

Для доказательства преобразуем выражение $bm$. Мы можем представить его, используя сумму $(a+b)$, следующим образом:

$bm = (a+b)m - am$

Это тождественное преобразование, так как если раскрыть скобки, мы получим $am + bm - am = bm$.

Теперь рассмотрим правую часть полученного равенства: $(a+b)m - am$. Она представляет собой разность двух выражений.

Первое выражение, $(a+b)m$, очевидно, делится на $(a+b)$, так как является произведением $(a+b)$ и числа $m$.

Второе выражение, $am$, делится на $(a+b)$ по условию задачи.

В теории чисел существует свойство: если два числа (в нашем случае $(a+b)m$ и $am$) делятся на некоторое третье число (в нашем случае $(a+b)$), то и их разность также делится на это число.

Поскольку и уменьшаемое $(a+b)m$, и вычитаемое $am$ делятся на $(a+b)$, то их разность, которая равна $bm$, также должна делиться на $(a+b)$.

Таким образом, мы доказали, что из условия $am \vdots (a+b)$ следует, что $bm \vdots (a+b)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

46.7. Числа $x, y$ и $z$ таковы, что $xz \vdots (z-y)$. Докажите, что $xy \vdots (z-y)$.

По условию задачи, число $xz$ делится на $(z-y)$. Это означает, что существует такое целое число $k$, что выполняется равенство:
$xz = k(z-y)$
Нам нужно доказать, что $xy$ делится на $(z-y)$.
Для этого рассмотрим выражение $xy$ и преобразуем его, используя данное условие. Удобно представить $xy$ через $xz$.
Рассмотрим разность $xz - xy$:
$xz - xy = x(z - y)$
Выразим из этого равенства $xy$:
$xy = xz - x(z - y)$
Теперь подставим в это выражение $xz = k(z-y)$ из условия:
$xy = k(z-y) - x(z-y)$
Вынесем общий множитель $(z-y)$ за скобки:
$xy = (k-x)(z-y)$
Поскольку $x$ и $k$ являются целыми числами (в задачах на делимость обычно подразумеваются целые числа), то их разность $(k-x)$ также является целым числом. Обозначим $m = k-x$.
Тогда мы получаем:
$xy = m(z-y)$, где $m$ — целое число.
Это равенство по определению означает, что произведение $xy$ делится на $(z-y)$ без остатка. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

46.8. Числа $m$, $n$ и $k$ таковы, что $(m - n) : k$ и $mn : k$. Докажите, что

$(m^3 + n^3) : k$.

По условию задачи, числа $m$, $n$ и $k$ таковы, что разность $(m-n)$ делится на $k$, и произведение $mn$ делится на $k$. Требуется доказать, что сумма кубов $(m^3+n^3)$ также делится на $k$.

Для доказательства воспользуемся алгебраической формулой суммы кубов:$m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$

Преобразуем второй множитель в этом выражении, $m^2 - mn + n^2$, чтобы можно было использовать данные из условия. Для этого выделим в нём полный квадрат разности $(m-n)^2$:$m^2 - mn + n^2 = (m^2 - 2mn + n^2) + mn = (m-n)^2 + mn$

Теперь подставим полученное выражение обратно в формулу для суммы кубов:$m^3 + n^3 = (m+n)((m-n)^2 + mn)$

Проанализируем выражение в скобках: $((m-n)^2 + mn)$. По условию, $(m-n)$ делится на $k$, следовательно, и его квадрат $(m-n)^2$ также делится на $k$. Второе слагаемое, $mn$, также делится на $k$ согласно условию.

Так как оба слагаемых в скобках — $(m-n)^2$ и $mn$ — делятся на $k$, то их сумма $((m-n)^2 + mn)$ также делится на $k$. Это означает, что выражение $((m-n)^2 + mn)$ можно представить в виде $A \cdot k$, где $A$ — некоторое целое число.

Тогда вся сумма кубов равна:$m^3 + n^3 = (m+n) \cdot (A \cdot k) = k \cdot A(m+n)$

Поскольку $m$, $n$ и $A$ — целые числа, то произведение $A(m+n)$ также является целым числом. Мы представили $m^3 + n^3$ как произведение числа $k$ на целое число, что по определению означает, что $(m^3 + n^3)$ делится на $k$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

46.9. Решите в целых числах уравнение:

1) $9x^2 - y^2 = 6;$

2) $x^2 + 2xy = 2x + 9;$

3) $x^2 + xy - 6y^2 = 6;$

4) $x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14.$

1) $9x^2 - y^2 = 6$

Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов:

$(3x)^2 - y^2 = 6$

$(3x - y)(3x + y) = 6$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $3x - y$ и $3x + y$ также являются целыми числами. Их произведение равно 6. Следовательно, они являются делителями числа 6. Возможные целые делители числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Пусть $A = 3x - y$ и $B = 3x + y$. Тогда $AB = 6$.

Сложим эти два выражения: $(3x - y) + (3x + y) = A + B$, что дает $6x = A + B$.

Вычтем первое выражение из второго: $(3x + y) - (3x - y) = B - A$, что дает $2y = B - A$.

Для того чтобы $x$ был целым числом, сумма $A+B$ должна быть кратна 6. Проверим все возможные пары целых множителей числа 6:

• $A=1, B=6 \implies A+B = 7$, не делится на 6.
• $A=6, B=1 \implies A+B = 7$, не делится на 6.
• $A=-1, B=-6 \implies A+B = -7$, не делится на 6.
• $A=-6, B=-1 \implies A+B = -7$, не делится на 6.
• $A=2, B=3 \implies A+B = 5$, не делится на 6.
• $A=3, B=2 \implies A+B = 5$, не делится на 6.
• $A=-2, B=-3 \implies A+B = -5$, не делится на 6.
• $A=-3, B=-2 \implies A+B = -5$, не делится на 6.

Ни одна из пар не дает сумму, кратную 6. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Другой способ — использование сравнений по модулю. Рассмотрим уравнение по модулю 3:

$9x^2 - y^2 \equiv 6 \pmod{3}$

Поскольку $9x^2$ и 6 делятся на 3, то $9x^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $6 \equiv 0 \pmod{3}$.

$0 - y^2 \equiv 0 \pmod{3}$, то есть $y^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Это означает, что $y^2$ делится на 3. Так как 3 — простое число, то и $y$ должен делиться на 3. Пусть $y = 3k$, где $k$ — целое число.

Подставим это в исходное уравнение:

$9x^2 - (3k)^2 = 6$

$9x^2 - 9k^2 = 6$

$9(x^2 - k^2) = 6$

$x^2 - k^2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Разность квадратов двух целых чисел $x$ и $k$ должна быть целым числом. Но $\frac{2}{3}$ не является целым числом. Получили противоречие.

Ответ: решений в целых числах нет.

2) $x^2 + 2xy = 2x + 9$

Перепишем уравнение как квадратное относительно переменной $x$:

$x^2 + (2y - 2)x - 9 = 0$

Для того чтобы уравнение имело целые решения для $x$, его дискриминант $D$ должен быть полным квадратом.

$D = (2y - 2)^2 - 4(1)(-9) = 4(y - 1)^2 + 36 = 4((y - 1)^2 + 9)$

Чтобы $D$ был полным квадратом, выражение $(y - 1)^2 + 9$ также должно быть полным квадратом. Пусть $(y - 1)^2 + 9 = k^2$ для некоторого целого неотрицательного числа $k$.

$k^2 - (y - 1)^2 = 9$

Разложим левую часть на множители:

$(k - (y - 1))(k + (y - 1)) = 9$

$(k - y + 1)(k + y - 1) = 9$

Оба множителя являются целыми числами, их произведение равно 9. Обозначим $A = k - y + 1$ и $B = k + y - 1$. Возможные пары целых делителей $(A, B)$ числа 9: $(1, 9), (9, 1), (-1, -9), (-9, -1), (3, 3), (-3, -3)$.

Сложив уравнения $A$ и $B$, получим $2k = A+B$. Вычтя первое из второго, получим $2y-2 = B-A$.

Рассмотрим каждую пару:

1. $A=1, B=9$: $2k = 10 \implies k=5$. $2y-2 = 8 \implies 2y=10 \implies y=5$.

Найдем $x$ по формуле корней квадратного уравнения: $x = \frac{-(2y-2) \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{2-2y \pm 2k}{2} = 1-y \pm k$.

$x = 1 - 5 \pm 5 \implies x_1 = 1, x_2 = -9$. Решения: $(1, 5)$ и $(-9, 5)$.

2. $A=9, B=1$: $2k = 10 \implies k=5$. $2y-2 = -8 \implies 2y=-6 \implies y=-3$.

$x = 1 - (-3) \pm 5 = 4 \pm 5 \implies x_1 = 9, x_2 = -1$. Решения: $(9, -3)$ и $(-1, -3)$.

3. $A=3, B=3$: $2k = 6 \implies k=3$. $2y-2 = 0 \implies 2y=2 \implies y=1$.

$x = 1 - 1 \pm 3 = 0 \pm 3 \implies x_1 = 3, x_2 = -3$. Решения: $(3, 1)$ и $(-3, 1)$.

4. $A=-1, B=-9$: $2k = -10 \implies k=-5$. Так как $k$ должно быть неотрицательным, этот случай не дает новых решений (он даст те же значения для $y$ и $x$, что и $A=9, B=1$).

5. $A=-9, B=-1$: $2k = -10 \implies k=-5$. Аналогично случаю 1.

6. $A=-3, B=-3$: $2k = -6 \implies k=-3$. Аналогично случаю 3.

Ответ: $(1, 5), (-9, 5), (9, -3), (-1, -3), (3, 1), (-3, 1)$.

3) $x^2 + xy - 6y^2 = 6$

Разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно $x$ или $y$.

$(x + 3y)(x - 2y) = 6$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $x + 3y$ и $x - 2y$ являются целыми делителями числа 6. Пусть $A = x + 3y$ и $B = x - 2y$. Тогда $AB = 6$.

Вычтем второе уравнение из первого: $(x + 3y) - (x - 2y) = A - B$, что дает $5y = A - B$.

Чтобы $y$ было целым числом, разность $A-B$ должна быть кратна 5. Проверим пары делителей числа 6:

1. $A=1, B=6 \implies A-B = -5$. Это кратно 5.

$5y = -5 \implies y = -1$. Подставим в $x - 2y = 6$: $x - 2(-1) = 6 \implies x+2=6 \implies x=4$. Решение: $(4, -1)$.

2. $A=6, B=1 \implies A-B = 5$. Это кратно 5.

$5y = 5 \implies y = 1$. Подставим в $x - 2y = 1$: $x - 2(1) = 1 \implies x-2=1 \implies x=3$. Решение: $(3, 1)$.

3. $A=-1, B=-6 \implies A-B = 5$. Это кратно 5.

$5y = 5 \implies y = 1$. Подставим в $x - 2y = -6$: $x - 2(1) = -6 \implies x-2=-6 \implies x=-4$. Решение: $(-4, 1)$.

4. $A=-6, B=-1 \implies A-B = -5$. Это кратно 5.

$5y = -5 \implies y = -1$. Подставим в $x - 2y = -1$: $x - 2(-1) = -1 \implies x+2=-1 \implies x=-3$. Решение: $(-3, -1)$.

5. Другие пары делителей (2,3), (3,2), (-2,-3), (-3,-2) не дают разность, кратную 5. Например, для (2,3) $A-B = -1$.

Ответ: $(4, -1), (3, 1), (-4, 1), (-3, -1)$.

4) $x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14$

Попытаемся разложить левую часть на множители. Сначала разложим квадратичную часть $x^2 - 2xy - 3y^2$:

$x^2 - 2xy - 3y^2 = (x - 3y)(x + y)$

Теперь попробуем представить всю левую часть в виде $(x - 3y + a)(x + y + b)$.

$(x - 3y + a)(x + y + b) = x^2 - 2xy - 3y^2 + (a+b)x + (a-3b)y + ab$

Сравним коэффициенты с исходным уравнением $x^2 - 2xy - 3y^2 + 1x + 1y = 14$:

$\begin{cases} a+b = 1 \\ a-3b = 1 \end{cases}$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $4b=0 \implies b=0$. Тогда из первого уравнения $a=1$.

Таким образом, левая часть уравнения равна $(x-3y+1)(x+y)$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 3y + 1)(x + y) = 14$

Пусть $A = x - 3y + 1$ и $B = x + y$. $A$ и $B$ — целые делители числа 14. Пары делителей: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.

Получаем систему: $\begin{cases} x - 3y + 1 = A \\ x + y = B \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго: $(x+y) - (x-3y+1) = B - A \implies 4y - 1 = B - A \implies 4y = B - A + 1$.

Для того чтобы $y$ было целым, $B-A+1$ должно быть кратно 4.

1. $A=1, B=14 \implies B-A+1 = 14-1+1=14$. Не кратно 4.

2. $A=14, B=1 \implies B-A+1 = 1-14+1=-12$. Кратно 4.

$4y=-12 \implies y=-3$. Из $x+y=B$: $x-3=1 \implies x=4$. Решение: $(4, -3)$.

3. $A=-1, B=-14 \implies B-A+1 = -14-(-1)+1=-12$. Кратно 4.

$4y=-12 \implies y=-3$. Из $x+y=B$: $x-3=-14 \implies x=-11$. Решение: $(-11, -3)$.

4. $A=-14, B=-1 \implies B-A+1 = -1-(-14)+1=14$. Не кратно 4.

5. $A=2, B=7 \implies B-A+1 = 7-2+1=6$. Не кратно 4.

6. $A=7, B=2 \implies B-A+1 = 2-7+1=-4$. Кратно 4.

$4y=-4 \implies y=-1$. Из $x+y=B$: $x-1=2 \implies x=3$. Решение: $(3, -1)$.

7. $A=-2, B=-7 \implies B-A+1 = -7-(-2)+1=-4$. Кратно 4.

$4y=-4 \implies y=-1$. Из $x+y=B$: $x-1=-7 \implies x=-6$. Решение: $(-6, -1)$.

8. $A=-7, B=-2 \implies B-A+1 = -2-(-7)+1=6$. Не кратно 4.

Ответ: $(4, -3), (-11, -3), (3, -1), (-6, -1)$.

46.10. Решите в целых числах уравнение:

1) $x^2 - 4y^2 = 5$;

2) $y^2 + 3xy = 15 + y$;

3) $x^2 - 3xy + 3y - x = 10$;

4) $2y^2 - xy - x^2 = 2$.

1) $x^2 - 4y^2 = 5$

Разложим левую часть уравнения на множители как разность квадратов: $(x - 2y)(x + 2y) = 5$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 2y)$ и $(x + 2y)$ также являются целыми числами. Число 5 — простое, его целые делители: $\pm 1, \pm 5$. Рассмотрим все возможные системы уравнений:

а) $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x + 2y = 5 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 6$, откуда $x = 3$. Тогда $3 + 2y = 5$, $2y=2$, $y=1$. Решение: $(3, 1)$.

б) $\begin{cases} x - 2y = 5 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 6$, откуда $x = 3$. Тогда $3 + 2y = 1$, $2y=-2$, $y=-1$. Решение: $(3, -1)$.

в) $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ x + 2y = -5 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -6$, откуда $x = -3$. Тогда $-3 + 2y = -5$, $2y=-2$, $y=-1$. Решение: $(-3, -1)$.

г) $\begin{cases} x - 2y = -5 \\ x + 2y = -1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -6$, откуда $x = -3$. Тогда $-3 + 2y = -1$, $2y=2$, $y=1$. Решение: $(-3, 1)$.

Ответ: $(3, 1), (3, -1), (-3, -1), (-3, 1)$.

2) $y^2 + 3xy = 15 + y$

Перенесем все члены с переменными в левую часть и сгруппируем: $y^2 - y + 3xy = 15$.

Вынесем $y$ за скобки: $y(y - 1 + 3x) = 15$.

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $y$ и $(y - 1 + 3x)$ являются целыми делителями числа 15. Делители числа 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$. Переберем все возможные целые значения для $y$:

При $y = 1$: $1(1 - 1 + 3x) = 15 \implies 3x = 15 \implies x = 5$. Решение: $(5, 1)$.

При $y = -1$: $-1(-1 - 1 + 3x) = 15 \implies 2 - 3x = 15 \implies -3x = 13$, $x$ не является целым числом.

При $y = 3$: $3(3 - 1 + 3x) = 15 \implies 2 + 3x = 5 \implies 3x = 3 \implies x = 1$. Решение: $(1, 3)$.

При $y = -3$: $-3(-3 - 1 + 3x) = 15 \implies -4 + 3x = -5 \implies 3x = -1$, $x$ не является целым числом.

При $y = 5$: $5(5 - 1 + 3x) = 15 \implies 4 + 3x = 3 \implies 3x = -1$, $x$ не является целым числом.

При $y = -5$: $-5(-5 - 1 + 3x) = 15 \implies -6 + 3x = -3 \implies 3x = 3 \implies x = 1$. Решение: $(1, -5)$.

При $y = 15$: $15(15 - 1 + 3x) = 15 \implies 14 + 3x = 1 \implies 3x = -13$, $x$ не является целым числом.

При $y = -15$: $-15(-15 - 1 + 3x) = 15 \implies -16 + 3x = -1 \implies 3x = 15 \implies x = 5$. Решение: $(5, -15)$.

Ответ: $(5, 1), (1, 3), (1, -5), (5, -15)$.

3) $x^2 - 3xy + 3y - x = 10$

Сгруппируем слагаемые и разложим левую часть на множители:

$(x^2 - x) - (3xy - 3y) = 10$

$x(x - 1) - 3y(x - 1) = 10$

$(x - 1)(x - 3y) = 10$

Множители $(x - 1)$ и $(x - 3y)$ должны быть целыми делителями числа 10 ($\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$). Обозначим $A = x - 1$ и $B = x - 3y$. Тогда $x = A + 1$. Подставив это во второе равенство, получим $(A + 1) - 3y = B$, откуда $3y = A + 1 - B$.

Чтобы $y$ было целым числом, выражение $(A + 1 - B)$ должно быть кратно 3. Проверим все пары делителей $(A, B)$ числа 10:

$A=1, B=10 \implies A+1-B = 1+1-10 = -8$ (не делится на 3).

$A=-1, B=-10 \implies A+1-B = -1+1-(-10) = 10$ (не делится на 3).

$A=2, B=5 \implies A+1-B = 2+1-5 = -2$ (не делится на 3).

$A=-2, B=-5 \implies A+1-B = -2+1-(-5) = 4$ (не делится на 3).

$A=5, B=2 \implies A+1-B = 5+1-2 = 4$ (не делится на 3).

$A=-5, B=-2 \implies A+1-B = -5+1-(-2) = -2$ (не делится на 3).

$A=10, B=1 \implies A+1-B = 10+1-1 = 10$ (не делится на 3).

$A=-10, B=-1 \implies A+1-B = -10+1-(-1) = -8$ (не делится на 3).

Ни в одном из случаев $y$ не является целым числом. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

4) $2y^2 - xy - x^2 = 2$

Умножим уравнение на -1 и перегруппируем слагаемые: $x^2 + xy - 2y^2 = -2$.

Разложим левую часть на множители: $(x - y)(x + 2y) = -2$.

Множители $(x - y)$ и $(x + 2y)$ являются целыми делителями числа -2. Делители числа -2: $\pm 1, \pm 2$. Рассмотрим все возможные системы:

а) $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + 2y = -2 \end{cases}$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $3y = -3$, откуда $y = -1$. Тогда $x - (-1) = 1$, $x = 0$. Решение: $(0, -1)$.

б) $\begin{cases} x - y = -1 \\ x + 2y = 2 \end{cases}$. Вычитая, получаем $3y = 3$, откуда $y = 1$. Тогда $x - 1 = -1$, $x = 0$. Решение: $(0, 1)$.

в) $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + 2y = -1 \end{cases}$. Вычитая, получаем $3y = -3$, откуда $y = -1$. Тогда $x - (-1) = 2$, $x = 1$. Решение: $(1, -1)$.

г) $\begin{cases} x - y = -2 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$. Вычитая, получаем $3y = 3$, откуда $y = 1$. Тогда $x - 1 = -2$, $x = -1$. Решение: $(-1, 1)$.

Ответ: $(0, -1), (0, 1), (1, -1), (-1, 1)$.

46.11. Существует ли многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что $P(1)=17, P(9)=53$?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством многочленов с целыми коэффициентами. Свойство заключается в следующем: если $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, то для любых двух различных целых чисел $a$ и $b$ разность $P(a) - P(b)$ делится нацело на разность $a - b$.

Докажем это. Пусть $P(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0$, где все коэффициенты $c_i$ являются целыми числами ($c_i \in \mathbb{Z}$).
Рассмотрим разность $P(a) - P(b)$:
$P(a) - P(b) = (c_n a^n + \dots + c_0) - (c_n b^n + \dots + c_0)$
$P(a) - P(b) = c_n(a^n - b^n) + c_{n-1}(a^{n-1} - b^{n-1}) + \dots + c_1(a - b)$
Для любого натурального числа $k$ выражение $a^k - b^k$ можно разложить на множители: $a^k - b^k = (a - b)(a^{k-1} + a^{k-2}b + \dots + ab^{k-2} + b^{k-1})$. Так как $a$ и $b$ — целые числа, то и второй множитель является целым числом. Это означает, что $a^k - b^k$ всегда делится на $a - b$.
Поскольку каждый член $c_k(a^k - b^k)$ в выражении для $P(a) - P(b)$ содержит множитель $(a^k - b^k)$, который делится на $(a - b)$, то и вся сумма делится на $(a - b)$.

Теперь применим это свойство к условиям нашей задачи. У нас есть:
$a = 9$, $b = 1$.
$P(9) = 53$, $P(1) = 17$.
Согласно свойству, разность $P(9) - P(1)$ должна делиться на $9 - 1$.
Вычислим эти разности:
$P(9) - P(1) = 53 - 17 = 36$.
$9 - 1 = 8$.
Теперь проверим, делится ли $36$ на $8$ нацело:
$36 \div 8 = 4$ (остаток $4$).
Поскольку $36$ не делится на $8$ без остатка, это противоречит свойству многочленов с целыми коэффициентами. Следовательно, многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющего заданным условиям, не существует.

Ответ: нет, такой многочлен не существует.

46.12. Решите в целых числах уравнение:

1) $xy = x + y$;

2) $xy - x - 2y = 5$.

1) Для решения уравнения $xy = x + y$ в целых числах, перенесем все члены в одну сторону: $xy - x - y = 0$. Этот тип уравнений удобно решать методом разложения на множители. Для этого добавим к обеим частям уравнения 1, чтобы можно было сгруппировать члены:

$xy - x - y + 1 = 1$

Теперь сгруппируем слагаемые в левой части:

$x(y - 1) - 1(y - 1) = 1$

$(x - 1)(y - 1) = 1$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, то $x-1$ и $y-1$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 в двух случаях:

1. Оба множителя равны 1:
$x - 1 = 1 \implies x = 2$
$y - 1 = 1 \implies y = 2$
Получаем решение $(2, 2)$.

2. Оба множителя равны -1:
$x - 1 = -1 \implies x = 0$
$y - 1 = -1 \implies y = 0$
Получаем решение $(0, 0)$.

Таким образом, у уравнения есть два решения в целых числах.
Ответ: $(0, 0)$, $(2, 2)$.

2) Решим уравнение $xy - x - 2y = 5$ в целых числах. Применим тот же метод разложения на множители. Сначала сгруппируем члены с $x$:

$x(y - 1) - 2y = 5$

Чтобы выделить множитель $(y-1)$, нам нужно преобразовать член $-2y$. Для этого добавим и вычтем 2:

$x(y - 1) - 2y + 2 - 2 = 5$

$x(y - 1) - 2(y - 1) - 2 = 5$

Теперь вынесем общий множитель $(y-1)$ за скобки и перенесем свободный член вправо:

$(x - 2)(y - 1) = 5 + 2$

$(x - 2)(y - 1) = 7$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $x-2$ и $y-1$ также являются целыми числами. Число 7 является простым, поэтому его можно представить в виде произведения двух целых чисел следующими четырьмя способами:

1. $x - 2 = 1$ и $y - 1 = 7$
$x = 3$, $y = 8$
Решение: $(3, 8)$.

2. $x - 2 = 7$ и $y - 1 = 1$
$x = 9$, $y = 2$
Решение: $(9, 2)$.

3. $x - 2 = -1$ и $y - 1 = -7$
$x = 1$, $y = -6$
Решение: $(1, -6)$.

4. $x - 2 = -7$ и $y - 1 = -1$
$x = -5$, $y = 0$
Решение: $(-5, 0)$.

Мы нашли все возможные целочисленные решения.
Ответ: $(3, 8)$, $(9, 2)$, $(1, -6)$, $(-5, 0)$.

46.13. Решите в целых числах уравнение $2xy + 2x - 3y - 4 = 0$.

Для решения данного уравнения в целых числах применим метод разложения на множители. Этот тип уравнений называется диофантовым.

Исходное уравнение: $2xy + 2x - 3y - 4 = 0$.

Сгруппируем слагаемые. Сначала вынесем $2x$ из первых двух слагаемых:

$2x(y + 1) - 3y - 4 = 0$

Теперь нам нужно преобразовать оставшиеся слагаемые $-3y - 4$ так, чтобы в них также появился множитель $(y + 1)$. Для этого представим $-3y$ как $-3(y+1)+3$.

$2x(y + 1) - 3(y + 1) + 3 - 4 = 0$

Упростим выражение:

$2x(y + 1) - 3(y + 1) - 1 = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(y+1)$ за скобки и перенести свободный член в правую часть уравнения:

$(2x - 3)(y + 1) = 1$

Поскольку по условию $x$ и $y$ — целые числа, то выражения в скобках $(2x - 3)$ и $(y + 1)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух возможных случаях:

• Оба числа равны 1.
• Оба числа равны -1.

Рассмотрим оба этих случая.

1) Оба множителя равны 1.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x - 3 = 1 \\ y + 1 = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$: $2x = 1 + 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.

Из второго уравнения находим $y$: $y = 1 - 1 \Rightarrow y = 0$.

Получили первую пару решений: $(2, 0)$.

2) Оба множителя равны -1.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x - 3 = -1 \\ y + 1 = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$: $2x = -1 + 3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$.

Из второго уравнения находим $y$: $y = -1 - 1 \Rightarrow y = -2$.

Получили вторую пару решений: $(1, -2)$.

Других целочисленных делителей у числа 1 нет, поэтому других решений в целых числах уравнение не имеет.

Ответ: $(2, 0)$, $(1, -2)$.