Номер 46.12, страница 358 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46.12. Решите в целых числах уравнение:

1) $xy = x + y$;

2) $xy - x - 2y = 5$.

1) Для решения уравнения $xy = x + y$ в целых числах, перенесем все члены в одну сторону: $xy - x - y = 0$. Этот тип уравнений удобно решать методом разложения на множители. Для этого добавим к обеим частям уравнения 1, чтобы можно было сгруппировать члены:

$xy - x - y + 1 = 1$

Теперь сгруппируем слагаемые в левой части:

$x(y - 1) - 1(y - 1) = 1$

$(x - 1)(y - 1) = 1$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, то $x-1$ и $y-1$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 в двух случаях:

1. Оба множителя равны 1:
$x - 1 = 1 \implies x = 2$
$y - 1 = 1 \implies y = 2$
Получаем решение $(2, 2)$.

2. Оба множителя равны -1:
$x - 1 = -1 \implies x = 0$
$y - 1 = -1 \implies y = 0$
Получаем решение $(0, 0)$.

Таким образом, у уравнения есть два решения в целых числах.
Ответ: $(0, 0)$, $(2, 2)$.

2) Решим уравнение $xy - x - 2y = 5$ в целых числах. Применим тот же метод разложения на множители. Сначала сгруппируем члены с $x$:

$x(y - 1) - 2y = 5$

Чтобы выделить множитель $(y-1)$, нам нужно преобразовать член $-2y$. Для этого добавим и вычтем 2:

$x(y - 1) - 2y + 2 - 2 = 5$

$x(y - 1) - 2(y - 1) - 2 = 5$

Теперь вынесем общий множитель $(y-1)$ за скобки и перенесем свободный член вправо:

$(x - 2)(y - 1) = 5 + 2$

$(x - 2)(y - 1) = 7$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $x-2$ и $y-1$ также являются целыми числами. Число 7 является простым, поэтому его можно представить в виде произведения двух целых чисел следующими четырьмя способами:

1. $x - 2 = 1$ и $y - 1 = 7$
$x = 3$, $y = 8$
Решение: $(3, 8)$.

2. $x - 2 = 7$ и $y - 1 = 1$
$x = 9$, $y = 2$
Решение: $(9, 2)$.

3. $x - 2 = -1$ и $y - 1 = -7$
$x = 1$, $y = -6$
Решение: $(1, -6)$.

4. $x - 2 = -7$ и $y - 1 = -1$
$x = -5$, $y = 0$
Решение: $(-5, 0)$.

Мы нашли все возможные целочисленные решения.
Ответ: $(3, 8)$, $(9, 2)$, $(1, -6)$, $(-5, 0)$.