gdz.top
Номер 46.8, страница 358 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 46. Делимость нацело и её свойства - номер 46.8, страница 358.
№46.7
№46.8 (с. 358)
Условие. №46.8 (с. 358)
46.8. Числа $m$, $n$ и $k$ таковы, что $(m - n) : k$ и $mn : k$. Докажите, что
$(m^3 + n^3) : k$.
Решение. №46.8 (с. 358)
По условию задачи, числа $m$, $n$ и $k$ таковы, что разность $(m-n)$ делится на $k$, и произведение $mn$ делится на $k$. Требуется доказать, что сумма кубов $(m^3+n^3)$ также делится на $k$.
Для доказательства воспользуемся алгебраической формулой суммы кубов:$m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$
Преобразуем второй множитель в этом выражении, $m^2 - mn + n^2$, чтобы можно было использовать данные из условия. Для этого выделим в нём полный квадрат разности $(m-n)^2$:$m^2 - mn + n^2 = (m^2 - 2mn + n^2) + mn = (m-n)^2 + mn$
Теперь подставим полученное выражение обратно в формулу для суммы кубов:$m^3 + n^3 = (m+n)((m-n)^2 + mn)$
Проанализируем выражение в скобках: $((m-n)^2 + mn)$. По условию, $(m-n)$ делится на $k$, следовательно, и его квадрат $(m-n)^2$ также делится на $k$. Второе слагаемое, $mn$, также делится на $k$ согласно условию.
Так как оба слагаемых в скобках — $(m-n)^2$ и $mn$ — делятся на $k$, то их сумма $((m-n)^2 + mn)$ также делится на $k$. Это означает, что выражение $((m-n)^2 + mn)$ можно представить в виде $A \cdot k$, где $A$ — некоторое целое число.
Тогда вся сумма кубов равна:$m^3 + n^3 = (m+n) \cdot (A \cdot k) = k \cdot A(m+n)$
Поскольку $m$, $n$ и $A$ — целые числа, то произведение $A(m+n)$ также является целым числом. Мы представили $m^3 + n^3$ как произведение числа $k$ на целое число, что по определению означает, что $(m^3 + n^3)$ делится на $k$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 46.8 расположенного на странице 358 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №46.8 (с. 358), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.