Номер 46.15, страница 359 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46.15. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $n > 1$ значение выражения $1^n + 2^n + 3^n + ... + 99^n$ кратно 100.

Обозначим данное выражение через $S$:

$S = 1^n + 2^n + 3^n + ... + 99^n$

По условию, $n$ — нечётное натуральное число и $n > 1$. Необходимо доказать, что $S$ кратно 100.

Для доказательства сгруппируем слагаемые в сумме. В сумме 99 слагаемых. Сгруппируем их попарно, оставив центральный член без пары:

$S = (1^n + 99^n) + (2^n + 98^n) + ... + (49^n + 51^n) + 50^n$

Рассмотрим каждую пару вида $k^n + (100-k)^n$, где $k$ принимает значения от 1 до 49.

Известно, что для любого нечётного натурального $n$ выражение $a^n + b^n$ делится на $a+b$. Это следует из формулы:

$a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - ... + b^{n-1})$

Применим это свойство к каждой паре $k^n + (100-k)^n$. Сумма оснований для каждой такой пары равна:

$k + (100 - k) = 100$

Следовательно, каждая из 49 сумм в скобках, $(k^n + (100-k)^n)$, делится на 100. Сумма этих пар, которую обозначим $S_{пар}$, также будет делиться на 100:

$S_{пар} = (1^n + 99^n) + (2^n + 98^n) + ... + (49^n + 51^n) \equiv 0 \pmod{100}$

Теперь рассмотрим оставшийся член суммы — $50^n$. Чтобы доказать, что вся сумма $S$ делится на 100, нам нужно показать, что и $50^n$ делится на 100.

Разложим 100 на простые множители: $100 = 4 \times 25 = 2^2 \times 5^2$.

Разложим $50^n$ на простые множители:

$50^n = (2 \times 25)^n = (2 \times 5^2)^n = 2^n \times 5^{2n}$

По условию, $n$ — нечётное натуральное число и $n > 1$. Это означает, что $n$ может принимать значения $3, 5, 7, ...$ Таким образом, наименьшее возможное значение для $n$ равно 3.

Проверим делимость $50^n$ на $2^2$ и $5^2$. Поскольку $n \ge 3$, то показатель степени у двойки $n > 2$, а значит, $2^n$ делится на $2^2 = 4$. Аналогично, показатель степени у пятёрки $2n \ge 6$, то есть $2n > 2$, а значит, $5^{2n}$ делится на $5^2 = 25$.

Так как $50^n$ одновременно делится на 4 и на 25 (а эти числа взаимно просты), то $50^n$ делится и на их произведение, то есть на $4 \times 25 = 100$.

Итак, мы представили исходную сумму $S$ в виде $S = S_{пар} + 50^n$. Поскольку и $S_{пар}$, и $50^n$ делятся на 100, их сумма $S$ также делится на 100.

Ответ: Утверждение, вынесенное в условие задачи, доказано.