Номер 46.20, страница 359 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46.20. Трёхзначное число $\overline{abc}$ кратно числу 37. Докажите, что сумма чисел $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ также кратна числу 37.

Обозначим трёхзначное число $\overline{abc}$ как $100a + 10b + c$, где $a, b, c$ — его цифры. Аналогично, числа, полученные циклической перестановкой его цифр, можно записать как:

$\overline{bca} = 100b + 10c + a$

$\overline{cab} = 100c + 10a + b$

По условию, число $\overline{abc}$ кратно 37. Это значит, что $\overline{abc} = 37k$ для некоторого целого числа $k$.

Рассмотрим сумму всех трёх чисел, образованных перестановкой цифр:

$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = (100a + a + 10a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c) = 111a + 111b + 111c$

Вынесем общий множитель 111 за скобки:

$111(a + b + c)$

Так как $111 = 3 \times 37$, то сумма трёх чисел равна:

$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = 3 \times 37 \times (a + b + c)$

Это означает, что сумма $\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}$ всегда делится на 37, поскольку 37 является одним из её множителей.

Нам нужно доказать, что сумма $S = \overline{bca} + \overline{cab}$ кратна 37. Мы можем записать:

$S = (\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}) - \overline{abc}$

Мы установили, что сумма в скобках $(\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab})$ кратна 37. По условию задачи, число $\overline{abc}$ также кратно 37.

Если два числа кратны 37, то и их разность также кратна 37. Следовательно, $S$ кратна 37.

Таким образом, доказано, что сумма чисел $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ кратна числу 37.

Ответ: Утверждение доказано, так как сумма $\overline{bca} + \overline{cab}$ является разностью двух чисел ($\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}$ и $\overline{abc}$), каждое из которых кратно 37.