Номер 46.22, страница 359 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46.22. Докажите, что количество делителей квадрата натурального числа — число нечётное. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Докажите, что количество делителей квадрата натурального числа — число нечётное

Пусть $n$ — произвольное натуральное число. Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число $n > 1$ можно представить в виде канонического разложения на простые множители:

$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$,

где $p_1, p_2, \ldots, p_k$ — различные простые числа, а $a_1, a_2, \ldots, a_k$ — натуральные числа.

Количество натуральных делителей числа $n$, обозначаемое как $\tau(n)$, вычисляется по формуле:

$\tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots(a_k + 1)$.

Возведем число $n$ в квадрат:

$n^2 = (p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k})^2 = p_1^{2a_1} \cdot p_2^{2a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{2a_k}$.

Количество делителей числа $n^2$ будет равно:

$\tau(n^2) = (2a_1 + 1)(2a_2 + 1)\ldots(2a_k + 1)$.

Каждый множитель в этом произведении имеет вид $2a_i + 1$. Поскольку $a_i$ — натуральное число, то $2a_i$ — чётное число. Сумма чётного числа и единицы всегда является нечётным числом. Следовательно, каждый множитель $(2a_i + 1)$ нечётен.

Произведение любого количества нечётных чисел является нечётным числом. Таким образом, $\tau(n^2)$ — нечётное число, что и требовалось доказать.

Другой способ доказательства: Все делители любого числа $N$ можно разбить на пары вида $(d, N/d)$. Если $N$ не является полным квадратом, то для любого делителя $d$ справедливо, что $d \neq N/d$. В этом случае все делители разбиваются на пары, и их общее количество чётно. Если $N$ является квадратом натурального числа, $N = n^2$, то существует один делитель $d=n$, для которого $d = N/d$. Этот делитель образует пару сам с собой. Все остальные делители $d' \neq n$ разбиваются на пары $(d', n^2/d')$. Таким образом, общее количество делителей равно сумме четного числа (от парных делителей) и единицы (от непарного делителя $n$), что является нечётным числом.

Ответ: Доказано, что количество делителей квадрата натурального числа нечётно.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение

Формулировка обратного утверждения: Если натуральное число имеет нечётное количество делителей, то оно является квадратом некоторого натурального числа (полным квадратом).

Доказательство:

Пусть $M$ — натуральное число, и количество его делителей $\tau(M)$ нечётно.

Представим число $M$ в виде канонического разложения на простые множители:

$M = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$.

Количество его делителей равно:

$\tau(M) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots(a_k + 1)$.

По условию, $\tau(M)$ — нечётное число. Произведение целых чисел нечётно тогда и только тогда, когда каждый из сомножителей нечётен. Следовательно, каждый множитель $(a_i + 1)$ является нечётным.

Если сумма $(a_i + 1)$ — нечётное число, то показатель степени $a_i$ должен быть чётным числом. Таким образом, все показатели $a_1, a_2, \ldots, a_k$ в разложении числа $M$ являются чётными. Пусть $a_i = 2b_i$ для некоторых натуральных чисел $b_i$.

Тогда разложение числа $M$ можно записать в виде:

$M = p_1^{2b_1} \cdot p_2^{2b_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{2b_k} = (p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{b_k})^2$.

Пусть $n = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{b_k}$. Так как $p_i$ и $b_i$ — натуральные числа, то $n$ также является натуральным числом. Мы получили, что $M = n^2$, то есть $M$ является квадратом натурального числа. Утверждение доказано.

Ответ: Сформулировано и доказано обратное утверждение: если количество делителей натурального числа нечётно, то это число является квадратом натурального числа.