Вопросы?, страница 364 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Сформулируйте теорему о делении с остатком.

2. Какие числа называют сравнимыми по модулю $m$, где $m \in N$?

3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие того, что целые числа $a$ и $b$ сравнимы по модулю $m$, где $m \in N$.

4. Сформулируйте свойства сравнений.

1. Сформулируйте теорему о делении с остатком.

Для любого целого числа $a$ (делимое) и любого натурального числа $m$ (делитель) существует единственная пара целых чисел $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток) таких, что выполняется равенство $a = mq + r$, при этом остаток $r$ должен удовлетворять неравенству $0 \le r < m$.

Ответ: Для любого целого числа $a$ и натурального числа $m$ существуют единственные целые числа $q$ и $r$ такие, что $a = mq + r$, где $0 \le r < m$.

2. Какие числа называют сравнимыми по модулю m, где m ∈ N?

Два целых числа $a$ и $b$ называют сравнимыми по модулю натурального числа $m$ ($m \in N$), если они имеют одинаковые остатки при делении на $m$. Записывается это следующим образом: $a \equiv b \pmod{m}$. Например, числа 17 и 5 сравнимы по модулю 6, так как оба дают остаток 5 при делении на 6.

Ответ: Сравнимыми по модулю $m$ называют целые числа, которые при делении на $m$ дают одинаковые остатки.

3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие того, что целые числа a и b сравнимы по модулю m, где m ∈ N.

Необходимым и достаточным условием того, что целые числа $a$ и $b$ сравнимы по модулю $m$, является делимость их разности $(a-b)$ на $m$. Это означает, что сравнение $a \equiv b \pmod{m}$ эквивалентно тому, что разность $(a-b)$ является кратным числа $m$. Математически это можно записать так:$a \equiv b \pmod{m} \iff (a-b) \vdots m$. Другими словами, существует такое целое число $k$, что $a-b = km$.

Ответ: Целые числа $a$ и $b$ сравнимы по модулю $m$ тогда и только тогда, когда их разность $(a-b)$ делится на $m$ нацело.

4. Сформулируйте свойства сравнений.

Сравнения по модулю обладают рядом свойств, аналогичных свойствам равенств. Отношение сравнимости является отношением эквивалентности, а также оно согласовано с арифметическими операциями.

• Рефлексивность: Любое целое число сравнимо само с собой по любому модулю: $a \equiv a \pmod{m}$.
• Симметричность: Если $a$ сравнимо с $b$ по модулю $m$, то и $b$ сравнимо с $a$ по тому же модулю: если $a \equiv b \pmod{m}$, то $b \equiv a \pmod{m}$.
• Транзитивность: Если $a$ сравнимо с $b$ по модулю $m$ и $b$ сравнимо с $c$ по модулю $m$, то $a$ сравнимо с $c$ по тому же модулю: если $a \equiv b \pmod{m}$ и $b \equiv c \pmod{m}$, то $a \equiv c \pmod{m}$.
• Сложение и вычитание: Сравнения можно почленно складывать и вычитать. Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$, то $a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m}$.
• Умножение: Сравнения можно почленно умножать. Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$, то $ac \equiv bd \pmod{m}$.
• Умножение на число: Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число. Если $a \equiv b \pmod{m}$, то для любого целого $k$ верно $ak \equiv bk \pmod{m}$.
• Возведение в степень: Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же натуральную степень. Если $a \equiv b \pmod{m}$, то для любого натурального $n$ верно $a^n \equiv b^n \pmod{m}$.
• Деление: Обе части сравнения $ak \equiv bk \pmod{m}$ можно разделить на $k$, но при этом может измениться модуль. Если $d = \text{НОД}(k, m)$ (наибольший общий делитель), то $a \equiv b \pmod{m/d}$. В частном случае, если $k$ и $m$ взаимно просты ($\text{НОД}(k, m) = 1$), то модуль не меняется: $a \equiv b \pmod{m}$.

Ответ: Основные свойства сравнений: рефлексивность ($a \equiv a \pmod{m}$), симметричность (из $a \equiv b \pmod{m}$ следует $b \equiv a \pmod{m}$), транзитивность (из $a \equiv b \pmod{m}$ и $b \equiv c \pmod{m}$ следует $a \equiv c \pmod{m}$), а также возможность почленного сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень.