Номер 46.23, страница 359 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46.23. Дано 19-значное число, десятичная запись которого не содержит нулей. Докажите, что в записи этого числа можно зачеркнуть несколько цифр так, чтобы число, полученное в результате, было кратным числу 111.

Для доказательства утверждения воспользуемся принципом Дирихле.

По условию, нам дано 19-значное число, в десятичной записи которого нет нулей. Это означает, что все 19 цифр этого числа принадлежат множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

В этой задаче мы можем рассматривать 19 цифр числа как 19 "предметов", которые нужно распределить по 9 "ящикам". В качестве "ящиков" выступают возможные значения цифр (от 1 до 9).

Согласно обобщенному принципу Дирихле, если $N$ предметов раскладываются по $k$ ящикам, то по крайней мере в одном ящике окажется не менее $\lceil N/k \rceil$ предметов.

Применим этот принцип к нашей задаче: количество "предметов" (цифр) $N = 19$, а количество "ящиков" (возможных значений цифр) $k = 9$. Следовательно, как минимум одна из цифр должна встречаться в записи числа не менее чем $\lceil 19/9 \rceil = \lceil 2.111... \rceil = 3$ раза.

Пусть эта цифра — $d$. Поскольку в записи числа нет нулей, $d \in \{1, 2, ..., 9\}$. Итак, мы установили, что в любом 19-значном числе без нулей найдется по меньшей мере три одинаковые цифры $d$.

Теперь мы можем сформировать новое число, вычеркнув из исходного 19-значного числа все цифры, кроме этих трех найденных цифр $d$. Так как при вычеркивании взаимное расположение оставшихся цифр сохраняется, полученное число будет иметь вид $ddd$.

Найдем значение этого числа: $d \cdot 10^2 + d \cdot 10^1 + d \cdot 10^0 = 100d + 10d + d = 111d$.

Полученное число $111d$ очевидно является кратным числу 111, поскольку $d$ — это целое число от 1 до 9.

Таким образом, мы доказали, что в записи любого 19-значного числа без нулей можно зачеркнуть несколько цифр так, чтобы полученное в результате число было кратным 111. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.