gdz.top
Номер 46.19, страница 359 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 46. Делимость нацело и её свойства - номер 46.19, страница 359.
№46.18
№46.19 (с. 359)
Условие. №46.19 (с. 359)
46.19. Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что $n^2 : (m+n)$. Докажите, что $m^3 : (m+n)$.
Решение. №46.19 (с. 359)
По условию задачи даны натуральные числа $m$ и $n$, для которых выполняется делимость $n^2$ на $(m+n)$. Запишем это в виде: $(m+n) | n^2$ Необходимо доказать, что $m^3$ также делится на $(m+n)$: $(m+n) | m^3$
Сначала докажем вспомогательное утверждение: если $(m+n) | n^2$, то $(m+n) | n^3$. Из того, что $(m+n) | n^2$, следует, что существует целое число $k$, такое что $n^2 = k(m+n)$. Умножив обе части этого равенства на $n$, получим: $n^3 = n \cdot n^2 = n \cdot k(m+n) = (nk)(m+n)$ Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то $n$ и $k = \frac{n^2}{m+n}$ — целые числа (поскольку $n^2$ делится на $m+n$), их произведение $nk$ также является целым числом. Следовательно, $n^3$ делится на $(m+n)$.
Теперь рассмотрим выражение $m^3$. Воспользуемся известным свойством делимости: если число делит два других числа, то оно делит и их разность. Мы можем представить $m^3$ в виде разности двух выражений: $m^3 = (m^3 + n^3) - n^3$
Рассмотрим каждое из этих выражений на делимость на $(m+n)$:
1. Выражение $(m^3 + n^3)$ можно разложить на множители по формуле суммы кубов: $m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$. Так как один из множителей равен $(m+n)$, то $(m^3 + n^3)$ всегда делится на $(m+n)$.
2. Для выражения $n^3$ мы уже доказали выше, что оно делится на $(m+n)$, исходя из условия задачи.
Поскольку $(m+n)$ делит и $(m^3 + n^3)$, и $n^3$, то оно должно делить и их разность: $(m+n) | ((m^3 + n^3) - n^3)$ Это означает, что $(m+n) | m^3$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 46.19 расположенного на странице 359 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №46.19 (с. 359), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.