Номер 46.16, страница 359 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

46.16. Числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения $3x + 8y$ кратно 19.

Докажите, что значение выражения $13x + 3y$ кратно 19.

По условию задачи, значение выражения $3x + 8y$ кратно 19. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $3x + 8y = 19k$. Нам необходимо доказать, что значение выражения $13x + 3y$ также кратно 19.

Для доказательства воспользуемся методом линейной комбинации выражений. Обозначим данные выражения:

$A = 3x + 8y$

$B = 13x + 3y$

По условию, выражение $A$ кратно 19. Мы должны доказать, что $B$ также кратно 19.

Составим такую линейную комбинацию выражений $A$ и $B$, чтобы исключить одну из переменных, например, переменную $x$. Для этого нам нужно, чтобы коэффициенты при $x$ стали одинаковыми. Умножим выражение $A$ на 13, а выражение $B$ на 3:

$13A = 13(3x + 8y) = 39x + 104y$

$3B = 3(13x + 3y) = 39x + 9y$

Теперь, когда коэффициенты при $x$ равны, мы можем вычесть второе полученное выражение из первого, чтобы исключить $x$:

$13A - 3B = (39x + 104y) - (39x + 9y) = 39x + 104y - 39x - 9y = 95y$

В результате мы получили равенство: $13A - 3B = 95y$.

Проанализируем это равенство с точки зрения делимости на 19.

Правая часть равенства, $95y$, кратна 19, так как коэффициент $95 = 5 \cdot 19$.

Рассмотрим левую часть: $13A - 3B$.

По условию, выражение $A$ кратно 19. Следовательно, произведение $13A$ также кратно 19.

Мы получили, что разность $13A - 3B$ кратна 19, и ее уменьшаемое ($13A$) кратно 19. Согласно свойствам делимости, если разность двух чисел и уменьшаемое делятся на некоторое число, то и вычитаемое должно делиться на это число. Следовательно, выражение $3B$ должно быть кратно 19.

Итак, мы установили, что $3 \cdot B$ делится на 19. Поскольку числа 3 и 19 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), из того, что произведение $3B$ делится на 19, следует, что само выражение $B$ должно делиться на 19.

Таким образом, мы доказали, что выражение $B = 13x + 3y$ кратно 19, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.