Страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

? Опишите схему исследования функции.

Полное исследование функции для построения её графика обычно проводится по следующей схеме:

1. 1. Нахождение области определения функции

   Определяется множество всех значений аргумента $x$, для которых функция $y = f(x)$ существует. Необходимо исключить значения $x$, приводящие к делению на ноль, извлечению корня чётной степени из отрицательного числа, вычислению логарифма неположительного числа и т.п.

   Ответ: Найдено множество $D(f)$ — область определения функции.

2. 2. Исследование на чётность, нечётность и периодичность

   Проверяется, симметрична ли область определения относительно нуля, и выполняется ли одно из условий:
   - Чётность: $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
   - Нечётность: $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$. График симметричен относительно начала координат.
   Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида. Также проверяется периодичность: существует ли число $T \ne 0$ такое, что $f(x+T) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$. Если функция периодическая, дальнейшее исследование можно проводить на отрезке длиной в один период $T$.

   Ответ: Установлены свойства симметрии графика и периодичность функции.

3. 3. Нахождение точек пересечения с осями координат

   Находятся точки, в которых график функции пересекает координатные оси:
   - С осью $Oy$: вычисляется $y = f(0)$. Точка пересечения — $(0, f(0))$.
   - С осью $Ox$ (нули функции): решается уравнение $f(x) = 0$. Точки пересечения — $(x_i, 0)$, где $x_i$ — корни уравнения.

   Ответ: Найдены координаты точек пересечения графика с осями $Ox$ и $Oy$.

4. 4. Нахождение промежутков знакопостоянства

   Определяются интервалы, на которых функция сохраняет знак (т.е. $f(x) > 0$ или $f(x) < 0$). Для этого на числовую ось наносят нули функции и её точки разрыва, после чего определяют знак $f(x)$ в каждом из полученных интервалов.

   Ответ: Определены интервалы, где график функции расположен выше или ниже оси абсцисс.

5. 5. Исследование на непрерывность и нахождение асимптот

   Находятся точки разрыва функции и определяется их тип. Ищутся асимптоты графика:
   - Вертикальные асимптоты: прямые вида $x = a$, где $a$ — точка разрыва, в которой хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности ($\lim_{x \to a\pm} f(x) = \pm\infty$).
   - Наклонные асимптоты: прямые вида $y = kx + b$, где $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$.
   - Горизонтальные асимптоты: частный случай наклонных при $k=0$. Прямые $y = b$, где $b = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$.

   Ответ: Найдены точки разрыва, а также уравнения вертикальных, наклонных и горизонтальных асимптот.

6. 6. Нахождение промежутков монотонности и точек экстремума

   Вычисляется первая производная $f'(x)$ и находятся её критические точки (в которых $f'(x) = 0$ или не существует). По знаку производной определяются промежутки возрастания ($f'(x) > 0$) и убывания ($f'(x) < 0$) функции. В точках, где производная меняет знак, находятся точки локального экстремума (максимума или минимума) и вычисляются значения функции в них.

   Ответ: Определены интервалы монотонности, найдены точки экстремума и значения функции в этих точках.

7. 7. Нахождение промежутков выпуклости/вогнутости и точек перегиба

   Вычисляется вторая производная $f''(x)$ и находятся точки, где $f''(x) = 0$ или не существует. По знаку второй производной определяются промежутки, где график функции является вогнутым (выпуклым вниз, $f''(x) > 0$) или выпуклым (выпуклым вверх, $f''(x) < 0$). Точки, в которых направление выпуклости меняется, называются точками перегиба.

   Ответ: Определены интервалы выпуклости и вогнутости графика, найдены точки перегиба.

8. 8. Построение графика функции

   На основе всех полученных данных строится эскиз графика. На координатную плоскость наносятся асимптоты, точки пересечения с осями, точки экстремумов и перегиба. Затем, с учётом информации о монотонности и выпуклости, эти точки соединяются плавной кривой. Для уточнения графика можно вычислить значения функции в нескольких промежуточных точках.

   Ответ: Построен эскиз графика, отражающий все ключевые свойства функции.

9. 9. Нахождение области значений функции

   По построенному графику или на основе анализа (например, значений в точках экстремума и пределов на бесконечности) определяется множество всех значений, которые может принимать функция.

   Ответ: Найдено множество $E(f)$ — область значений функции.