Страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.13. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = \frac{x}{1+x^2}$;

2) $y = \frac{x}{(x-1)^2}$.

1) $y = \frac{x}{1+x^2}$

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции, необходимо исследовать знак ее второй производной.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель $1+x^2$ никогда не равен нулю, поэтому функция определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём первую производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x)'(1+x^2) - x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}.$

3. Найдём вторую производную функции:

$y'' = \left(\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\right)' = \frac{(1-x^2)'(1+x^2)^2 - (1-x^2)((1+x^2)^2)'}{((1+x^2)^2)^2} = \frac{-2x(1+x^2)^2 - (1-x^2) \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4}.$

Вынесем общий множитель $-2x(1+x^2)$ в числителе:

$y'' = \frac{-2x(1+x^2)[(1+x^2) + 2(1-x^2)]}{(1+x^2)^4} = \frac{-2x(1+x^2+2-2x^2)}{(1+x^2)^3} = \frac{-2x(3-x^2)}{(1+x^2)^3} = \frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}.$

4. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю. Это потенциальные точки перегиба.

$y'' = 0 \Rightarrow \frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3} = 0.$

Так как знаменатель всегда положителен, то $2x(x^2-3) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x^2-3=0 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{3}$.

5. Определим знаки второй производной на интервалах, на которые эти точки разбивают область определения: $(-\infty, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}, +\infty)$. Знак $y''$ совпадает со знаком числителя $2x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$.

• При $x \in (-\infty, -\sqrt{3})$, $y'' < 0$, функция выпукла вверх (выпукла).
• При $x \in (-\sqrt{3}, 0)$, $y'' > 0$, функция выпукла вниз (вогнута).
• При $x \in (0, \sqrt{3})$, $y'' < 0$, функция выпукла вверх (выпукла).
• При $x \in (\sqrt{3}, +\infty)$, $y'' > 0$, функция выпукла вниз (вогнута).

6. В точках $x = -\sqrt{3}$, $x=0$ и $x = \sqrt{3}$ вторая производная меняет знак, следовательно, это абсциссы точек перегиба. Найдём ординаты этих точек:

• $y(-\sqrt{3}) = \frac{-\sqrt{3}}{1+(-\sqrt{3})^2} = \frac{-\sqrt{3}}{4}.$ Точка перегиба $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4}).$
• $y(0) = \frac{0}{1+0^2} = 0.$ Точка перегиба $(0, 0).$
• $y(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{1+(\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{3}}{4}.$ Точка перегиба $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}).$

Ответ: функция выпукла вверх на промежутках $(-\infty, -\sqrt{3})$ и $(0, \sqrt{3})$; выпукла вниз на промежутках $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(\sqrt{3}, +\infty)$; точки перегиба: $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$.

2) $y = \frac{x}{(x-1)^2}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель $(x-1)^2$ равен нулю при $x=1$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Найдём первую производную:

$y' = \frac{(x)'(x-1)^2 - x((x-1)^2)'}{((x-1)^2)^2} = \frac{1 \cdot (x-1)^2 - x \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{(x-1)( (x-1) - 2x )}{(x-1)^4} = \frac{-x-1}{(x-1)^3}.$

3. Найдём вторую производную:

$y'' = \left(\frac{-x-1}{(x-1)^3}\right)' = \frac{(-x-1)'(x-1)^3 - (-x-1)((x-1)^3)'}{((x-1)^3)^2} = \frac{-1 \cdot (x-1)^3 - (-x-1) \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6}.$

Вынесем общий множитель $(x-1)^2$ в числителе:

$y'' = \frac{(x-1)^2 [-(x-1) + 3(x+1)]}{(x-1)^6} = \frac{-x+1+3x+3}{(x-1)^4} = \frac{2x+4}{(x-1)^4} = \frac{2(x+2)}{(x-1)^4}.$

4. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

$y'' = 0 \Rightarrow \frac{2(x+2)}{(x-1)^4} = 0 \Rightarrow 2(x+2)=0 \Rightarrow x = -2$.

Вторая производная не существует в точке $x=1$, которая не входит в область определения функции.

5. Определим знаки второй производной на интервалах, на которые точки $x=-2$ и $x=1$ разбивают область определения: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$ и $(1, +\infty)$. Знаменатель $(x-1)^4$ всегда положителен при $x \neq 1$, поэтому знак $y''$ определяется знаком числителя $2(x+2)$.

• При $x \in (-\infty, -2)$, $x+2<0$, следовательно $y'' < 0$, функция выпукла вверх (выпукла).
• При $x \in (-2, 1)$, $x+2>0$, следовательно $y'' > 0$, функция выпукла вниз (вогнута).
• При $x \in (1, +\infty)$, $x+2>0$, следовательно $y'' > 0$, функция выпукла вниз (вогнута).

6. В точке $x = -2$ вторая производная меняет знак, следовательно, это абсцисса точки перегиба. Найдём ординату этой точки:

$y(-2) = \frac{-2}{(-2-1)^2} = \frac{-2}{(-3)^2} = -\frac{2}{9}.$

Точка перегиба: $(-2, -\frac{2}{9})$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty, -2)$; выпукла вниз на промежутках $(-2, 1)$ и $(1, +\infty)$; точка перегиба: $(-2, -\frac{2}{9})$.

44.14. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$;

2) $y = \frac{x}{(x + 1)^2}$.

1) $y = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба функции необходимо исследовать знак её второй производной.

1. Найдём область определения функции.
Знаменатель $1 + x^2$ никогда не равен нулю. Следовательно, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём первую производную $y'$.
Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right)' = \frac{(1 - x^2)'(1 + x^2) - (1 - x^2)(1 + x^2)'}{(1 + x^2)^2} = \frac{-2x(1 + x^2) - (1 - x^2)(2x)}{(1 + x^2)^2}$
$y' = \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1 + x^2)^2} = \frac{-4x}{(1 + x^2)^2}$

3. Найдём вторую производную $y''$.
$y'' = \left(\frac{-4x}{(1 + x^2)^2}\right)' = \frac{(-4x)'(1 + x^2)^2 - (-4x)((1 + x^2)^2)'}{((1 + x^2)^2)^2}$
$y'' = \frac{-4(1 + x^2)^2 + 4x \cdot 2(1 + x^2) \cdot 2x}{(1 + x^2)^4} = \frac{-4(1 + x^2) + 16x^2}{(1 + x^2)^3}$
$y'' = \frac{-4 - 4x^2 + 16x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{12x^2 - 4}{(1 + x^2)^3} = \frac{4(3x^2 - 1)}{(1 + x^2)^3}$

4. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Знаменатель $(1 + x^2)^3$ всегда положителен, поэтому вторая производная существует на всей области определения.
Приравняем числитель к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:
$4(3x^2 - 1) = 0 \implies 3x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5. Определим знаки второй производной на интервалах.
Точки $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.
Знак $y''$ зависит только от знака выражения $3x^2 - 1$.
- На интервале $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$, например, при $x=-1$: $y'' \sim 3(-1)^2 - 1 = 2 > 0$. Функция выпукла вниз (вогнута).
- На интервале $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$, например, при $x=0$: $y'' \sim 3(0)^2 - 1 = -1 < 0$. Функция выпукла вверх.
- На интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, например, при $x=1$: $y'' \sim 3(1)^2 - 1 = 2 > 0$. Функция выпукла вниз (вогнута).

6. Найдём точки перегиба.
В точках $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ вторая производная меняет знак, следовательно, это абсциссы точек перегиба. Найдём ординаты этих точек:
$y\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1 - (\pm\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{1 + (\pm\frac{\sqrt{3}}{3})^2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{2}$.
Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{2})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{2})$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$, выпукла вниз (вогнута) на промежутках $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$. Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{2})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{2})$.

2) $y = \frac{x}{(x + 1)^2}$

1. Найдём область определения функции.
Знаменатель $(x + 1)^2$ равен нулю при $x = -1$. Следовательно, область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдём первую производную $y'$.
$y' = \left(\frac{x}{(x + 1)^2}\right)' = \frac{(x)'(x + 1)^2 - x((x + 1)^2)'}{((x + 1)^2)^2} = \frac{1 \cdot (x + 1)^2 - x \cdot 2(x + 1)}{(x + 1)^4}$
$y' = \frac{(x + 1) - 2x}{(x + 1)^3} = \frac{1 - x}{(x + 1)^3}$

3. Найдём вторую производную $y''$.
$y'' = \left(\frac{1 - x}{(x + 1)^3}\right)' = \frac{(1 - x)'(x + 1)^3 - (1 - x)((x + 1)^3)'}{((x + 1)^3)^2}$
$y'' = \frac{-1 \cdot (x + 1)^3 - (1 - x) \cdot 3(x + 1)^2}{(x + 1)^6} = \frac{-(x + 1) - 3(1 - x)}{(x + 1)^4}$
$y'' = \frac{-x - 1 - 3 + 3x}{(x + 1)^4} = \frac{2x - 4}{(x + 1)^4}$

4. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Вторая производная не существует при $x = -1$, но эта точка не входит в область определения функции.
Приравняем числитель к нулю:
$2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

5. Определим знаки второй производной на интервалах.
Точка $x=2$ и точка разрыва $x=-1$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Знаменатель $(x+1)^4$ всегда положителен на области определения. Знак $y''$ зависит от знака числителя $2x - 4$.
- На интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; 2)$ выражение $2x-4$ отрицательно (например, при $x=-2$ и $x=0$). Следовательно, $y'' < 0$ и функция выпукла вверх.
- На интервале $(2; +\infty)$ выражение $2x-4$ положительно (например, при $x=3$). Следовательно, $y'' > 0$ и функция выпукла вниз (вогнута).

6. Найдём точку перегиба.
В точке $x = 2$ вторая производная меняет знак, следовательно, это абсцисса точки перегиба. Найдём ординату этой точки:
$y(2) = \frac{2}{(2 + 1)^2} = \frac{2}{3^2} = \frac{2}{9}$.
Точка перегиба: $(2; \frac{2}{9})$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; 2)$, выпукла вниз (вогнута) на промежутке $(2; +\infty)$. Точка перегиба: $(2; \frac{2}{9})$.

44.15. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции $y = x^2 + 4\sin x$.

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба функции $y = x^2 + 4\sin x$ необходимо исследовать знак ее второй производной.

1. Находим первую и вторую производные.

Первая производная функции:

$y' = (x^2 + 4\sin x)' = 2x + 4\cos x$.

Вторая производная функции:

$y'' = (2x + 4\cos x)' = 2 - 4\sin x$.

2. Находим нули второй производной.

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:

$y'' = 0 \Rightarrow 2 - 4\sin x = 0$

$4\sin x = 2$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых вторая производная сохраняет свой знак.

3. Определяем промежутки выпуклости.

Знак второй производной определяет направление выпуклости графика функции.

• Функция выпукла вниз (вогнута), если $y'' > 0$.

  $2 - 4\sin x > 0 \Rightarrow 2 > 4\sin x \Rightarrow \sin x < \frac{1}{2}$.

  Это неравенство выполняется на интервалах вида: $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Функция выпукла вверх (выпукла), если $y'' < 0$.

  $2 - 4\sin x < 0 \Rightarrow 2 < 4\sin x \Rightarrow \sin x > \frac{1}{2}$.

  Это неравенство выполняется на интервалах вида: $(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. Находим точки перегиба.

Точки перегиба — это точки, в которых направление выпуклости графика функции меняется. Абсциссы этих точек мы уже нашли — это $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, так как в этих точках вторая производная равна нулю и меняет свой знак.

Для нахождения ординат точек перегиба подставим их абсциссы в исходную функцию $y = x^2 + 4\sin x$. В этих точках значение $\sin x$ равно $\frac{1}{2}$, поэтому:

$y = x^2 + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = x^2 + 2$.

Следовательно, точки перегиба имеют координаты $(x, x^2+2)$, где $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:

Промежутки выпуклости вверх: $(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки выпуклости вниз: $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Точки перегиба: абсциссы точек перегиба $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

44.16. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции $y = x^2 - 4\cos x$.

Для исследования функции $y = x^2 - 4\cos x$ на выпуклость и нахождения точек перегиба, необходимо найти и проанализировать ее вторую производную.

1. Находим первую производную:

$y' = (x^2 - 4\cos x)' = 2x - 4(-\sin x) = 2x + 4\sin x$.

2. Находим вторую производную:

$y'' = (2x + 4\sin x)' = 2 + 4\cos x$.

Промежутки выпуклости

Направление выпуклости графика функции определяется знаком второй производной. Функция является выпуклой вниз (вогнутой), если $y'' > 0$, и выпуклой вверх (или просто выпуклой), если $y'' < 0$.

Исследуем знак второй производной:

1. Найдем интервалы, на которых функция выпукла вниз ($y'' > 0$):

$2 + 4\cos x > 0$

$4\cos x > -2$

$\cos x > -\frac{1}{2}$

Решением этого тригонометрического неравенства являются интервалы:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем интервалы, на которых функция выпукла вверх ($y'' < 0$):

$2 + 4\cos x < 0$

$4\cos x < -2$

$\cos x < -\frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция выпукла вниз на интервалах $(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$, и выпукла вверх на интервалах $(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Точки перегиба

Точки перегиба — это точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует и при переходе через которые она меняет знак.

Найдем абсциссы точек перегиба из уравнения $y'' = 0$:

$2 + 4\cos x = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку при переходе через эти точки знак второй производной меняется, они являются абсциссами точек перегиба.

Теперь найдем ординаты этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию. В этих точках $\cos x = -1/2$, поэтому:

$y = x^2 - 4\cos x = x^2 - 4(-\frac{1}{2}) = x^2 + 2$.

Таким образом, точки перегиба имеют координаты:

$(\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, (\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)^2 + 2)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, (\frac{2\pi}{3} \pm 2\pi n)^2 + 2)$, где $n \in \mathbb{Z}$.