Номер 44.16, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.16. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции $y = x^2 - 4\cos x$.

Для исследования функции $y = x^2 - 4\cos x$ на выпуклость и нахождения точек перегиба, необходимо найти и проанализировать ее вторую производную.

1. Находим первую производную:

$y' = (x^2 - 4\cos x)' = 2x - 4(-\sin x) = 2x + 4\sin x$.

2. Находим вторую производную:

$y'' = (2x + 4\sin x)' = 2 + 4\cos x$.

Промежутки выпуклости

Направление выпуклости графика функции определяется знаком второй производной. Функция является выпуклой вниз (вогнутой), если $y'' > 0$, и выпуклой вверх (или просто выпуклой), если $y'' < 0$.

Исследуем знак второй производной:

1. Найдем интервалы, на которых функция выпукла вниз ($y'' > 0$):

$2 + 4\cos x > 0$

$4\cos x > -2$

$\cos x > -\frac{1}{2}$

Решением этого тригонометрического неравенства являются интервалы:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем интервалы, на которых функция выпукла вверх ($y'' < 0$):

$2 + 4\cos x < 0$

$4\cos x < -2$

$\cos x < -\frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция выпукла вниз на интервалах $(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$, и выпукла вверх на интервалах $(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Точки перегиба

Точки перегиба — это точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует и при переходе через которые она меняет знак.

Найдем абсциссы точек перегиба из уравнения $y'' = 0$:

$2 + 4\cos x = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку при переходе через эти точки знак второй производной меняется, они являются абсциссами точек перегиба.

Теперь найдем ординаты этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию. В этих точках $\cos x = -1/2$, поэтому:

$y = x^2 - 4\cos x = x^2 - 4(-\frac{1}{2}) = x^2 + 2$.

Таким образом, точки перегиба имеют координаты:

$(\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, (\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)^2 + 2)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, (\frac{2\pi}{3} \pm 2\pi n)^2 + 2)$, где $n \in \mathbb{Z}$.