Номер 45.3, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Для построения графика функции проведем ее исследование.

• Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
• Точки пересечения с осями координат:
  С осью OY (при $x=0$): $f(0) = (4 - 0) / (0 + 2) = 2$. Точка $(0; 2)$.
  С осью OX (при $f(x)=0$): $(4 - x) / (x + 2) = 0 \Rightarrow 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$. Точка $(4; 0)$.
• Асимптоты:
  Вертикальная асимптота: $x = -2$, так как при $x \to -2$ знаменатель стремится к нулю.
  Горизонтальная асимптота: Вычислим предел при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4 - x}{x + 2} = -1$. Горизонтальная асимптота: $y = -1$.
• Монотонность и экстремумы:
  Найдем производную: $f'(x) = \frac{(-1)(x + 2) - (4 - x)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{-x - 2 - 4 + x}{(x + 2)^2} = \frac{-6}{(x + 2)^2}$.
  Поскольку $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения, функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$. Экстремумов нет.

Построение: Строим асимптоты $x=-2$ и $y=-1$. Отмечаем точки $(0; 2)$ и $(4; 0)$. Учитывая, что функция убывает, рисуем ветви гиперболы в левой верхней и правой нижней четвертях относительно асимптот.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=-1$, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(4; 0)$.

Проведем исследование функции.

• Область определения: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
• Четность: $f(-x) = 2 / ((-x)^2 - 1) = 2 / (x^2 - 1) = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
• Точки пересечения с осями:
  С осью OY (при $x=0$): $f(0) = 2 / (0 - 1) = -2$. Точка $(0; -2)$.
  С осью OX (при $f(x)=0$): $2 = 0$, нет решений. График не пересекает ось OX.
• Асимптоты:
  Вертикальные асимптоты: $x = -1$ и $x = 1$.
  Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x^2 - 1} = 0$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
• Монотонность и экстремумы:
  $f'(x) = (\frac{2}{x^2 - 1})' = \frac{-2 \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$.
  $f'(x) = 0$ при $x=0$.
  При $x < 0$ ($x \neq -1$), $f'(x) > 0$ — функция возрастает.
  При $x > 0$ ($x \neq 1$), $f'(x) < 0$ — функция убывает.
  В точке $x=0$ находится локальный максимум: $f(0) = -2$.

Построение: Строим асимптоты $x=-1, x=1, y=0$. Отмечаем точку максимума $(0, -2)$. Рисуем центральную часть графика в виде "шапочки", симметричной относительно оси OY. Две другие ветви строим в верхних четвертях, приближаясь к асимптотам.

Ответ: График симметричен относительно оси OY, имеет вертикальные асимптоты $x = \pm 1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Точка локального максимума — $(0, -2)$.

Проведем исследование функции.

• Область определения: Знаменатель $x^2 + 3 > 0$ для всех $x$, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Точки пересечения с осями:
  С осью OY (при $x=0$): $f(0) = -6 / 3 = -2$. Точка $(0; -2)$.
  С осью OX (при $f(x)=0$): $6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$. Точка $(1; 0)$.
• Асимптоты:
  Вертикальных асимптот нет.
  Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x - 6}{x^2 + 3} = 0$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
• Монотонность и экстремумы:
  $f'(x) = \frac{6(x^2 + 3) - (6x - 6)(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{6x^2 + 18 - 12x^2 + 12x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-6x^2 + 12x + 18}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-6(x^2 - 2x - 3)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-6(x-3)(x+1)}{(x^2 + 3)^2}$.
  $f'(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 3$.
  На интервалах $(-\infty; -1)$ и $(3; +\infty)$ $f'(x) < 0$ (функция убывает).
  На интервале $(-1; 3)$ $f'(x) > 0$ (функция возрастает).
  $x=-1$ — точка минимума. $f(-1) = (-6-6)/(1+3) = -3$. Точка $(-1; -3)$.
  $x=3$ — точка максимума. $f(3) = (18-6)/(9+3) = 1$. Точка $(3; 1)$.

Построение: Строим асимптоту $y=0$. Отмечаем точки пересечения с осями $(0, -2)$, $(1, 0)$ и точки экстремумов $(-1, -3)$, $(3, 1)$. Соединяем точки плавной кривой, учитывая асимптотику на бесконечности.

Ответ: График имеет горизонтальную асимптоту $y=0$, точку локального минимума $(-1, -3)$ и точку локального максимума $(3, 1)$.

Проведем исследование функции.

• Область определения: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.
• Четность: $f(-x) = ((-x)^2 - 9) / ((-x)^2 - 4) = (x^2 - 9) / (x^2 - 4) = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
• Точки пересечения с осями:
  С осью OY (при $x=0$): $f(0) = -9 / -4 = 9/4 = 2.25$. Точка $(0; 9/4)$.
  С осью OX (при $f(x)=0$): $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$. Точки $(-3; 0)$ и $(3; 0)$.
• Асимптоты:
  Вертикальные асимптоты: $x = -2$ и $x = 2$.
  Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} = 1$. Горизонтальная асимптота: $y = 1$.
• Монотонность и экстремумы:
  $f'(x) = \frac{2x(x^2 - 4) - (x^2 - 9)(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 + 18x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{10x}{(x^2 - 4)^2}$.
  $f'(x) = 0$ при $x=0$.
  При $x < 0$ ($x \neq -2$), $f'(x) < 0$ — функция убывает.
  При $x > 0$ ($x \neq 2$), $f'(x) > 0$ — функция возрастает.
  $x=0$ — точка минимума. $f(0) = 9/4$.

Построение: Строим асимптоты $x=-2, x=2, y=1$. Отмечаем точки $(-3,0)$, $(3,0)$ и точку минимума $(0, 9/4)$. Соединяем точки, учитывая симметрию и поведение у асимптот.

Ответ: График симметричен относительно оси OY, имеет вертикальные асимптоты $x = \pm 2$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Точка локального минимума — $(0, 9/4)$, пересечение с осью OX в точках $(\pm 3, 0)$.

Проведем исследование функции.

• Область определения: $4 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.
• Нечетность: $f(-x) = (-x) / (4 - (-x)^2) = -x / (4 - x^2) = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
• Точки пересечения с осями:
  С осью OY (при $x=0$): $f(0) = 0 / 4 = 0$.
  С осью OX (при $f(x)=0$): $x = 0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.
• Асимптоты:
  Вертикальные асимптоты: $x = -2$ и $x = 2$.
  Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{4 - x^2} = 0$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
• Монотонность и экстремумы:
  $f'(x) = \frac{1(4 - x^2) - x(-2x)}{(4 - x^2)^2} = \frac{4 - x^2 + 2x^2}{(4 - x^2)^2} = \frac{x^2 + 4}{(4 - x^2)^2}$.
  Числитель $x^2+4 > 0$, знаменатель $(4-x^2)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения.
  Следовательно, $f'(x) > 0$ всегда. Функция возрастает на каждом из интервалов области определения. Экстремумов нет.

Построение: Строим асимптоты $x=-2, x=2, y=0$. Отмечаем точку $(0,0)$. Учитывая, что функция возрастает и симметрична относительно начала координат, рисуем три ветви графика.

Ответ: График симметричен относительно начала координат, имеет вертикальные асимптоты $x = \pm 2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Функция возрастает на всей области определения.

Проведем исследование функции.

• Область определения: $x^2 + 1 > 0$ для всех $x$, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Нечетность: $f(-x) = -2(-x) / ((-x)^2 + 1) = 2x / (x^2 + 1) = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
• Точки пересечения с осями:
  Пересечение с обеими осями в точке $(0; 0)$.
• Асимптоты:
  Вертикальных асимптот нет.
  Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2x}{x^2 + 1} = 0$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
• Монотонность и экстремумы:
  $f'(x) = \frac{-2(x^2 + 1) - (-2x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 - 2 + 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2 + 1)^2}$.
  $f'(x) = 0$ при $x = \pm 1$.
  На интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$ $f'(x) > 0$ (функция возрастает).
  На интервале $(-1; 1)$ $f'(x) < 0$ (функция убывает).
  $x=-1$ — точка максимума. $f(-1) = 2/2 = 1$. Точка $(-1; 1)$.
  $x=1$ — точка минимума. $f(1) = -2/2 = -1$. Точка $(1; -1)$.

Построение: Строим асимптоту $y=0$. Отмечаем точки $(0,0)$, максимум $(-1, 1)$ и минимум $(1, -1)$. Соединяем точки плавной кривой, симметричной относительно начала координат.

Ответ: График симметричен относительно начала координат, имеет горизонтальную асимптоту $y=0$, точку локального максимума $(-1, 1)$ и точку локального минимума $(1, -1)$.

Проведем исследование функции.

• Область определения: $x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Точки пересечения с осями:
  С осью OY: $x=0$ не входит в область определения, пересечения нет.
  С осью OX (при $f(x)=0$): $2(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1$. Точка $(1; 0)$.
• Асимптоты:
  Вертикальная асимптота: $x = 0$. $\lim_{x \to 0} \frac{2(x-1)}{x^2} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$.
  Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 2}{x^2} = 0$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
• Монотонность и экстремумы:
  $f'(x) = (\frac{2x-2}{x^2})' = \frac{2(x^2) - (2x-2)(2x)}{x^4} = \frac{2x^2 - 4x^2 + 4x}{x^4} = \frac{-2x^2 + 4x}{x^4} = \frac{-2x(x-2)}{x^4} = \frac{-2(x-2)}{x^3}$.
  $f'(x) = 0$ при $x = 2$.
  На интервалах $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$ $f'(x) < 0$ (функция убывает).
  На интервале $(0; 2)$ $f'(x) > 0$ (функция возрастает).
  $x=2$ — точка максимума. $f(2) = 2(2-1)/2^2 = 2/4 = 1/2$. Точка $(2; 1/2)$.

Построение: Строим асимптоты $x=0, y=0$. Отмечаем точку пересечения $(1, 0)$ и максимум $(2, 1/2)$. Слева от оси OY график убывает и уходит на $-\infty$. Справа от оси OY график возрастает до максимума, а затем убывает, приближаясь к оси OX.

Ответ: График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Пересекает ось OX в точке $(1,0)$. Точка локального максимума — $(2, 1/2)$.

Проведем исследование функции.

• Область определения: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.
• Четность: $f(-x) = ((-x)^2 + 4) / ((-x)^2 - 4) = (x^2 + 4) / (x^2 - 4) = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
• Точки пересечения с осями:
  С осью OY (при $x=0$): $f(0) = 4 / (-4) = -1$. Точка $(0; -1)$.
  С осью OX (при $f(x)=0$): $x^2 + 4 = 0$, нет действительных корней. График не пересекает ось OX.
• Асимптоты:
  Вертикальные асимптоты: $x = -2$ и $x = 2$.
  Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} = 1$. Горизонтальная асимптота: $y = 1$.
• Монотонность и экстремумы:
  $f'(x) = \frac{2x(x^2 - 4) - (x^2 + 4)(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 - 8x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2}$.
  $f'(x) = 0$ при $x=0$.
  При $x < 0$ ($x \neq -2$), $f'(x) > 0$ — функция возрастает.
  При $x > 0$ ($x \neq 2$), $f'(x) < 0$ — функция убывает.
  $x=0$ — точка максимума. $f(0) = -1$.

Построение: Строим асимптоты $x=-2, x=2, y=1$. Отмечаем точку максимума $(0, -1)$. Центральная ветвь — "шапочка" с вершиной в этой точке. Боковые ветви находятся выше асимптоты $y=1$ и приближаются к ней и к вертикальным асимптотам.

Ответ: График симметричен относительно оси OY, имеет вертикальные асимптоты $x = \pm 2$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Точка локального максимума — $(0, -1)$.