Номер 45.4, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

45.4. Постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x-3}{x-1}$;

2) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x}$;

3) $f(x) = \frac{1+x^2}{1-x^2}$;

4) $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$;

5) $f(x) = \frac{3x}{x^2-9}$;

6) $f(x) = \frac{2x}{(x+1)^2}$.

Для построения графика функции проведем полное исследование каждой функции.

1) $f(x) = \frac{x-3}{x-1}$

1. Область определения.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY ($x=0$): $f(0) = \frac{0-3}{0-1} = 3$. Точка $(0; 3)$.
С осью OX ($y=0$): $\frac{x-3}{x-1} = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$. Точка $(3; 0)$.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{-x-3}{-x-1} = \frac{x+3}{x+1}$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

4. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: $x=1$.
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x-3}{x-1} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x-3}{x-1} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=1$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-3}{x-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1-3/x}{1-1/x} = 1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
Найдем первую производную:
$f'(x) = \left(\frac{x-3}{x-1}\right)' = \frac{(x-1) - (x-3)}{(x-1)^2} = \frac{2}{(x-1)^2}$.
$f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$.
Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$f''(x) = \left(2(x-1)^{-2}\right)' = -4(x-1)^{-3} = \frac{-4}{(x-1)^3}$.
- При $x < 1$, $f''(x) > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- При $x > 1$, $f''(x) < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
Точек перегиба нет.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. График пересекает оси в точках $(0; 3)$ и $(3; 0)$. Функция возрастает на всей области определения. График вогнут при $x < 1$ и выпуклый при $x > 1$.

2) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x}$

1. Область определения.
$x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq 2$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY ($x=0$): не определена, пересечения нет.
С осью OX ($y=0$): $\frac{1}{x^2 - 2x} = 0$, решений нет, пересечения нет.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 2(-x)} = \frac{1}{x^2 + 2x}$. Функция общего вида.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=0$ и $x=2$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x(x-2)} = +\infty$, $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x(x-2)} = -\infty$.
$\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x(x-2)} = -\infty$, $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x(x-2)} = +\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - 2x} = 0$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
$f'(x) = \left((x^2 - 2x)^{-1}\right)' = -(x^2 - 2x)^{-2}(2x - 2) = \frac{2(1-x)}{(x^2-2x)^2}$.
$f'(x) = 0 \implies 1-x=0 \implies x=1$.
- При $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
- При $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
В точке $x=1$ максимум: $f(1) = \frac{1}{1-2} = -1$. Точка максимума $(1; -1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{-2(x^2-2x)^2 - (2-2x) \cdot 2(x^2-2x)(2x-2)}{(x^2-2x)^4} = \frac{6x^2-12x+8}{(x(x-2))^3}$.
Числитель $6x^2-12x+8$ не имеет корней и всегда положителен. Знак $f''(x)$ зависит от знаменателя.
- При $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$, $(x(x-2))^3>0$, $f''(x)>0$, график вогнутый.
- При $x \in (0; 2)$, $(x(x-2))^3<0$, $f''(x)<0$, график выпуклый.
Точек перегиба нет.

Ответ: График имеет три ветви, разделенные вертикальными асимптотами $x=0$ и $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Функция имеет локальный максимум в точке $(1; -1)$. График вогнут на $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$, выпуклый на $(0; 2)$. Пересечений с осями нет.

3) $f(x) = \frac{1+x^2}{1-x^2}$

1. Область определения.
$1-x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$.
$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY ($x=0$): $f(0) = \frac{1}{1} = 1$. Точка $(0; 1)$.
С осью OX ($y=0$): $1+x^2 = 0$, решений нет, пересечения нет.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{1+(-x)^2}{1-(-x)^2} = \frac{1+x^2}{1-x^2} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$.
$\lim_{x \to 1^-} \frac{1+x^2}{(1-x)(1+x)} = +\infty$, $\lim_{x \to 1^+} \frac{1+x^2}{(1-x)(1+x)} = -\infty$.
В силу четности: $\lim_{x \to -1^+} = +\infty$, $\lim_{x \to -1^-} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=-1$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+x^2}{1-x^2} = -1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
$f'(x) = \frac{2x(1-x^2) - (1+x^2)(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{4x}{(1-x^2)^2}$.
$f'(x) = 0 \implies x=0$.
- При $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
- При $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
В точке $x=0$ минимум: $f(0)=1$. Точка минимума $(0; 1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{4(1-x^2)^2 - 4x \cdot 2(1-x^2)(-2x)}{(1-x^2)^4} = \frac{4(1+3x^2)}{(1-x^2)^3}$.
Числитель всегда положителен. Знак зависит от знаменателя.
- При $x \in (-1; 1)$, $(1-x^2)^3 > 0$, $f''(x)>0$, график вогнутый.
- При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $(1-x^2)^3 < 0$, $f''(x)<0$, график выпуклый.
Точек перегиба нет.

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Вертикальные асимптоты $x=-1, x=1$, горизонтальная асимптота $y=-1$. Точка локального минимума $(0; 1)$. График выпуклый на $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, вогнутый на $(-1; 1)$.

4) $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

1. Область определения.
$x^2+1 > 0$ для всех $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY ($x=0$): $f(0)=1$. Точка $(0; 1)$.
С осью OX ($y=0$): $\frac{1}{x^2+1}=0$, нет решений.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2+1} = f(x)$. Функция четная.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2+1} = 0$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
$f'(x) = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$.
$f'(x) = 0 \implies x=0$.
- При $x < 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x > 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ максимум: $f(0)=1$. Точка максимума $(0; 1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{-2(x^2+1)^2 - (-2x) \cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}$.
$f''(x) = 0 \implies 6x^2-2=0 \implies x^2 = 1/3 \implies x = \pm 1/\sqrt{3}$.
Точки перегиба: $x = \pm 1/\sqrt{3}$.
$f(\pm 1/\sqrt{3}) = \frac{1}{1/3+1} = 3/4$. Точки $(\pm 1/\sqrt{3}; 3/4)$.
- При $x \in (-\infty; -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}; +\infty)$, $f''(x)>0$, график вогнутый.
- При $x \in (-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$, $f''(x)<0$, график выпуклый.

Ответ: График — колоколообразная кривая, симметричная относительно оси OY. Горизонтальная асимптота $y=0$. Глобальный максимум в точке $(0; 1)$. Точки перегиба в $(\pm 1/\sqrt{3}; 3/4)$.

5) $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9}$

1. Область определения.
$x^2 - 9 \neq 0 \implies x \neq \pm 3$.
$D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
$f(x)=0 \implies 3x=0 \implies x=0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 - 9} = \frac{-3x}{x^2 - 9} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=-3$ и $x=3$.
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$.
В силу нечетности: $\lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -3^-} f(x) = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{x^2 - 9} = 0$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
$f'(x) = \frac{3(x^2-9) - 3x(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{-3x^2-27}{(x^2-9)^2} = \frac{-3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$.
$f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения. Функция всегда убывает. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{6x(x^2+27)}{(x^2-9)^3}$.
$f''(x) = 0 \implies x=0$. Точка перегиба $(0; 0)$.
- При $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)$, $f''(x)<0$, график выпуклый.
- При $x \in (-3; 0) \cup (3; +\infty)$, $f''(x)>0$, график вогнутый.

Ответ: График симметричен относительно начала координат. Вертикальные асимптоты $x=-3, x=3$, горизонтальная асимптота $y=0$. Функция убывает на всей области определения. Точка перегиба в $(0; 0)$.

6) $f(x) = \frac{2x}{(x+1)^2}$

1. Область определения.
$(x+1)^2 \neq 0 \implies x \neq -1$.
$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
$f(x)=0 \implies 2x=0 \implies x=0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{-2x}{(-x+1)^2} = \frac{-2x}{(x-1)^2}$. Функция общего вида.

4. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: $x=-1$.
$\lim_{x \to -1} \frac{2x}{(x+1)^2} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{(x+1)^2} = 0$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
$f'(x) = \frac{2(x+1)^2 - 2x \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{2(1-x)}{(x+1)^3}$.
$f'(x) = 0 \implies x=1$.
- При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
- При $x \in (-1; 1)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
В точке $x=1$ максимум: $f(1) = \frac{2}{(1+1)^2} = \frac{1}{2}$. Точка максимума $(1; 1/2)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{-2(x+1)^3 - (2-2x) \cdot 3(x+1)^2}{(x+1)^6} = \frac{4(x-2)}{(x+1)^4}$.
$f''(x) = 0 \implies x=2$. Точка перегиба $x=2$.
$f(2) = \frac{4}{(2+1)^2} = 4/9$. Точка $(2; 4/9)$.
- При $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2)$, $f''(x)<0$, график выпуклый.
- При $x \in (2; +\infty)$, $f''(x)>0$, график вогнутый.

Ответ: График имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Пересекает оси в точке $(0; 0)$. Локальный максимум в точке $(1; 1/2)$. Точка перегиба в $(2; 4/9)$. Функция убывает на $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, возрастает на $(-1; 1)$.