Номер 45.5, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

45.5. Постройте график функции $f(x) = x^2(2x - 3)$ и определите, пользуясь им, количество корней уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$.

Постройте график функции $f(x) = x^2(2x - 3)$

Для построения графика проведем исследование функции, представив ее в виде многочлена: $f(x) = 2x^3 - 3x^2$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому её область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$: при $x=0$ имеем $f(0)=0$. График проходит через начало координат $(0;0)$.
- С осью $Ox$: решаем уравнение $f(x)=0 \Rightarrow x^2(2x-3)=0$. Корни уравнения: $x=0$ (корень кратности 2, что означает, что график касается оси $Ox$ в этой точке) и $x=1.5$. Точки пересечения/касания: $(0;0)$ и $(1.5;0)$.

3. Экстремумы и интервалы монотонности.
Найдем первую производную: $f'(x) = (2x^3 - 3x^2)' = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$.
Найдем критические точки из условия $f'(x)=0$: $6x(x-1)=0$, откуда $x=0$ и $x=1$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- на $(-\infty; 0)$ и $(1; +\infty)$ производная $f'(x)>0$, следовательно, функция возрастает;
- на $(0; 1)$ производная $f'(x)<0$, следовательно, функция убывает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка локального максимума: $f_{max} = f(0) = 0$. Точка максимума $(0;0)$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка локального минимума: $f_{min} = f(1) = 1^2(2\cdot 1-3) = -1$. Точка минимума $(1;-1)$.

Основываясь на полученной информации, строим эскиз графика. График возрастает из $-\infty$ до точки $(0;0)$, затем убывает до точки $(1;-1)$, и далее снова возрастает, пересекая ось $Ox$ в точке $(1.5;0)$.

Определите, пользуясь им, количество корней уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$

Количество корней уравнения $f(x) = a$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$. Анализируя график и положение прямой $y=a$ относительно найденных точек экстремума, получаем:

- Если $a < -1$ (прямая ниже минимума) или $a > 0$ (прямая выше максимума), прямая $y=a$ пересекает график в одной точке.

- Если $a = -1$ (касание в точке минимума) или $a = 0$ (касание в точке максимума), прямая $y=a$ пересекает график в двух точках.

- Если $-1 < a < 0$ (прямая проходит между максимумом и минимумом), прямая $y=a$ пересекает график в трех точках.

Ответ:
- при $a \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$ — один корень;
- при $a = -1$ или $a = 0$ — два корня;
- при $a \in (-1; 0)$ — три корня.