Номер 44.15, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.15. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции $y = x^2 + 4\sin x$.

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба функции $y = x^2 + 4\sin x$ необходимо исследовать знак ее второй производной.

1. Находим первую и вторую производные.

Первая производная функции:

$y' = (x^2 + 4\sin x)' = 2x + 4\cos x$.

Вторая производная функции:

$y'' = (2x + 4\cos x)' = 2 - 4\sin x$.

2. Находим нули второй производной.

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:

$y'' = 0 \Rightarrow 2 - 4\sin x = 0$

$4\sin x = 2$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых вторая производная сохраняет свой знак.

3. Определяем промежутки выпуклости.

Знак второй производной определяет направление выпуклости графика функции.

• Функция выпукла вниз (вогнута), если $y'' > 0$.

  $2 - 4\sin x > 0 \Rightarrow 2 > 4\sin x \Rightarrow \sin x < \frac{1}{2}$.

  Это неравенство выполняется на интервалах вида: $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Функция выпукла вверх (выпукла), если $y'' < 0$.

  $2 - 4\sin x < 0 \Rightarrow 2 < 4\sin x \Rightarrow \sin x > \frac{1}{2}$.

  Это неравенство выполняется на интервалах вида: $(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. Находим точки перегиба.

Точки перегиба — это точки, в которых направление выпуклости графика функции меняется. Абсциссы этих точек мы уже нашли — это $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, так как в этих точках вторая производная равна нулю и меняет свой знак.

Для нахождения ординат точек перегиба подставим их абсциссы в исходную функцию $y = x^2 + 4\sin x$. В этих точках значение $\sin x$ равно $\frac{1}{2}$, поэтому:

$y = x^2 + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = x^2 + 2$.

Следовательно, точки перегиба имеют координаты $(x, x^2+2)$, где $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:

Промежутки выпуклости вверх: $(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки выпуклости вниз: $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Точки перегиба: абсциссы точек перегиба $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.